Álgebra de conjuntos

Es probable que lo más conveniente, antes de abordar la definición y los postulados del Álgebra de Conjuntos, sea revisar la definición misma del concepto de Conjunto, a fin de entender las operaciones y propiedades de la primera categoría en su contexto adecuado.

Definición de Conjunto

Por consiguiente, es preciso recordar que según las distintas fuentes matemáticas, el Conjunto puede ser definido como una colección de objetos, los cuales pueden ser considerados como objetos que responden a la misma naturaleza, lo que a su vez hace que el propio conjunto o agrupación de dichos objetos pueda ser considerada un objeto en sí mismo. Así mismo, las Matemáticas son enfáticas en señalar que los conjuntos siempre y en todo sentido se encuentran definidos por los elementos que lo conforman, y no por la manera en que estos son presentados.

Ejemplos de conjuntos

En tal sentido, toda agrupación de objetos que se puedan considerar como pertenecientes a la misma naturaleza es un Conjunto. Entre los distintos ejemplos de conjuntos que existen se puede nombrar aquel conformado por frutas, es decir, aquella agrupación formada por todos aquellos elementos naturales comestibles que cuentan con semillas.

A = {Ciruela, Cereza, Papaya, Mandarina, Naranja}

Otro ejemplo de conjunto puede ser la agrupación conformada por instrumentos musicales, bien si el conjunto se define de forma general, a través del único criterio de que sean objetos concebidos para la producción de música:

B= {Violín, Flauta, Batería, Piano, Maraca, Timbal}

O que dicha agrupación responda a un criterio mucho más restringido o específico, como por ejemplo que el Conjunto esté constituido solamente por instrumentos de cuerdas:

C= {Viola, Violín, Guitarra, Cuatro, Bandolina,  Bajo, Contrabajo}

Álgebra de conjuntos

Por su parte, las Matemáticas conciben como Álgebra de Conjuntos a la materia que se encarga de estudiar las distintas operaciones que pueden realizarse entre los distintos conjuntos, a fin de poder entender cuál es la naturaleza y  las relaciones que pueden surgir entre estas agrupaciones de objetos, reunidos en base a la pertenencia a un criterio determinado. De esta forma, el Álgebra de Conjuntos será la disciplina en donde se encuentren contempladas las distintas operaciones, parámetros, criterios y propiedades a las cuales responden los conjuntos.

Operaciones básicas del Álgebra de conjuntos

Con respecto a las operaciones que el Álgebra de Conjuntos considera de carácter básico e inherente a este tipo de agrupaciones se encuentran las siguientes:

Unión

Operación básica que da como resultado otro conjunto, conformado por los elementos de los dos o más conjuntos iniciales. Es decir que la unión de un conjunto A y un conjunto B contiene todos los elementos tanto de A como de B. Por tradición, esta operación básica del Álgebra de Conjuntos es denotada a través de la letra U, por ejemplo A ∪ B.

Por ejemplo, si se tiene un conjunto A conformado por los siguientes colores:

A= {Azul, Amarillo, Rojo, Verde, Morado, Naranja}

y un conjunto B que a su vez cuente con sus propios colores:

B = {Violeta, Verde, Marrón, Gris}

Se puede decir entonces que la unión del conjunto A y el conjunto B, será entonces:

A ∪ B = { Azul, Amarillo, Rojo, Verde, Morado, Naranja, Violeta, Marrón, Gris}

Intersección

Por su parte, la Intersección es otra de las operaciones básicas del Álgebra de Conjuntos, la cual da como origen otro conjunto, conformado por aquellos elementos comunes entre los conjuntos con los cuales se inició la operación. Se denota con el símbolo ∩ y puede expresarse entonces como A ∩ B lo que a su vez se leería como que la intersección del conjunto A y el conjunto B sería el conjunto A ∩ B.

Por ejemplo, si se tiende el mismo conjunto A, conformado por colores:

A= {Azul, Amarillo, Rojo, Verde, Morado, Naranja}

y un conjunto B que contenga a su vez sus propios colores:

B = {Violeta, Verde, Marrón, Gris, Rojo, Azul}

Se puede decir entonces que la intersección del conjunto A y el conjunto B da como resultado un conjunto A ∩ B conformado por aquellos conjuntos que coinciden entre los dos conjuntos iniciales:

A ∩ B = {Azul, Rojo, Verde}

Diferencia

Así mismo, la operación de Diferencia constituye una operación básica del Álgebra de Conjuntos en donde se origina un conjunto nuevo, conformado por todos los elementos del conjunto A, que no pueden encontrarse en el conjunto B. Se denota con el signo \ y se puede leer entonces que el conjunto A \ B está conformado por todos los elementos que siendo de A, no pertenecen a B.

Por ejemplo, si se considera nuevamente un conjunto A, que se encuentre conformado por los siguientes elementos:

A= {Azul, Amarillo, Rojo, Verde, Morado, Naranja}

y un conjunto B que contenga los siguientes elementos:

B = {Violeta, Verde, Marrón, Gris, Rojo, Azul}

A través de una operación de Diferencia, se generará el conjunto A \ B el cual estará conformado por aquellos elementos que perteneciendo a A resulten diferentes al conjunto B:

A \ B =  {Amarillo, Morado, Naranja}

Diferencia simétrica

En cuanto a la operación de Diferencia Simétrica, esta originará, en base a un conjunto A y un conjunto B, un conjunto A Δ B el cual se encuentra conformado por aquellos elementos que no son comunes a los dos conjuntos. Por ejemplo, si se considera nuevamente un conjunto A conformado por los siguientes colores:

A= {Azul, Amarillo, Rojo, Verde, Morado, Naranja}

y un conjunto B conformado por los colores:

B = {Violeta, Verde, Marrón, Gris, Rojo, Azul}

Una operación de Diferencia simétrica originaría el siguiente conjunto, conformado en base a aquellos elementos que no son comunes entre ellos:

A Δ B = { Amarillo, Morado, Naranja, Violeta, Marrón, Gris}

Complemento

Igualmente se distingue la Operación de Complemento, por medio de la cual considerando un conjunto A y un conjunto B, se crea un conjunto de complemento A  conformado por todos aquellos elementos que no pertenecen a A. Por ejemplo, si se consideran de nuevo, un conjunto A conformado por un grupo de colores:

A= {Azul, Amarillo, Rojo, Verde, Morado, Naranja}

y un conjunto B conformado por los siguientes elementos:

B = {Violeta, Verde, Marrón, Gris, Rojo, Azul}

Se creará un conjunto A  donde se encuentren todos aquellos elementos que no pertenecen al conjunto A dado en primera instancia:

A = {Violeta, Marrón, Gris}

Producto cartesiano

Finalmente, el Producto Cartesiano constituye una operación del Álgebra de Conjuntos, en donde se produce otro conjunto A x B en donde se anota todos los pares posibles, donde siempre el primer elemento provendrá del conjunto A, y el segundo elemento siempre provendrá del conjunto B. Por ejemplo, si se tiene un conjunto A, que esté conformado por los siguientes números:

A = {1, 2, 4, 6, 7}

Y un segundo conjunto B, en donde se puedan distinguir los siguientes elementos:

B = {a, b, c}

Una operación de Producto Cartesiano originaría un conjunto A x B donde se podrían ver los siguientes elementos:

A x B = {(1,a), (1,b), (1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(4,a),(4,b), (4,c), (6,a), (6,b), (6,c), (7, a), (7,b), (7, c)}

Imagen: wikipedia.org

Álgebra de conjuntos
abril 30, 2017

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