Axiomas de la igualdad y la desigualdad en los Números enteros

Definiciones fundamentales

En este sentido, puede que también sea pertinente basar dicha revisión en dos nociones básicas: la primera de ellas, la de la propia definición de Números enteros, a fin de tener presente la naturaleza de los elementos en base a los cuales se dan las relaciones de igualdad o desigualdad, las cuales deberán ser también explicadas. A continuación, una breve descripción de cada una de ellas:

Números enteros

De esta manera, se describirán los Números enteros –según la definición que aportan las Matemáticas- como los elementos que componen el conjunto numérico Z, el cual se encuentra conformado por los Números naturales (números enteros positivos, que en la Recta numérica se extienden desde el cero al infinito), el cero (0) y  sus contrarios (números enteros negativos, es decir, aquellos que en la Recta numérica se extienden desde el cero hasta el infinito en sentido izquierdo, siendo anotados con el signo negativo).

Así mismo, las distintas fuentes han señalado que los Números enteros cumplen distintas funciones, las cuales se encuentran estrechamente relacionadas a la naturaleza de los elementos que lo conforman, en tal sentido estos números servirán entonces para expresar cantidades contables (a través de los números naturales), referir a la ausencia de cantidad (gracias al cero) o expresar una deuda o cantidad faltante (gracias a los números negativos).

Igualdad y desigualdad en Números enteros

Por otro lado, las Matemáticas también señalan que, al igual que puede hacerse con los Números naturales, los Números enteros se pueden comparar entre sí, generando a partir de esta acción distintas relaciones, las cuales indicarán si dos números son iguales (=), diferentes (≠), mayores que (>) o menores que entre sí >. También, esta disciplina ha referido que entre dos números puede hablarse de las relaciones igual o mayor que (≥) o igual o menor que (≤).

Básicamente, según las definiciones que aportan las Matemáticas, dentro de estas relaciones pueden darse los siguientes casos entre los miembros de la igualdad o la desigualdad, nombre que se le asigna a los números que son parte de la comparación:

• Si dos números cuentan con igual cantidad y signo, serán iguales: 8=8.
• Si dos números cuentan con igual cantidad, pero distinto signo, serán considerados diferentes: -4 ≠ 4, y de hecho serán tenidos como opuestos.
• Si dos números cuentan con distinta cantidad y signos iguales, serán considerados diferentes: 4 ≠ 8
• Si dos números cuentan con distinta cantidad y distintos signos, serán considerados diferentes: -4 ≠ -7.
• Así mismo, si un número es mayor que otro, o menor, se considera que los números son diferentes, pero la relación será expresada en términos de mayor que (>), mayor o igual que (≥), menor que (<) o menor o igual que (≤).

 Axiomas de igualdad y desigualdad

Teniendo presente estas definiciones, quizás sea mucho más sencillo comprender cada uno de los axiomas o propiedades que las Matemáticas han precisado sobre la Igualdad o Desigualdad de los Números enteros, y que básicamente serán las mismas que se cumplen en el conjunto de los Números naturales. A continuación, una breve explicación de cada una de ellas:

Reflexiva

En primer lugar, las Matemáticas señalarán que todo número entero, independientemente si es positivo o negativo, resultará igual a sí mismo. Esta propiedad puede ser expresada matemáticamente de la siguiente manera:

a = a

Simétrica

Por otro lado, dentro de los Números enteros también se cumple la Propiedad matemática que indica que si un número es igual a otro, este otro resulta por simetría igual que el primero, lo cual será expresado matemáticamente de esta forma:

a = b  →  b = a

Transitiva

Así mismo, en cuanto a las relaciones de igualdad y desigualdad de números enteros se cumple la propiedad transitiva, toda vez que sucede que si un número resulta igual a otro, y este otro resulta también igual a un tercero, se entiende entonces que el primer número es igual que este tercero:

Si a=b y b=c → a=c

Dentro de esta transitividad también se aplican otras leyes, que indican por ejemplo que si un número es mayor a otro, y este otro a su vez es mayor que un tercero, se concluye que el primer número es mayor que este tercero:

Si a>b y b>c → a>c

Por otro lado, la transitividad también estará presente si se llega a dar el caso de que un número sea menor que otro, y este otro a la vez sea menor que un tercero, entonces se concluirá que el primer número es también menor que el tercero:

Si a<b y b<c → a<c

De forma adicional, también puede ocurrir que un número sea mayor que otro, y este otro resulte igual a un tercer número, lo que llevará a concluir entonces que el primer número es mayor que este tercero:

Si a>b y b=c → a>c

En contravía, si un número resultase menor que otro, y este otro a su vez fuese menor que un tercero, entonces se concluiría que el primer número es menor que el tercero:

Si a<b y b=c → a<c

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