Calcular cuartiles, deciles y percentiles

Entre las Medidas de Posición más comunes en el campo de la Estadística se encuentran los Cuartiles, Dentiles y Percentiles. Resulta pertinente entonces hacer una breve descripción de cada una de estas medidas, así como de las formas de calcularlos. A continuación, los Cuartiles, Deciles y Percentiles:

Cuartiles

Los cuartiles corresponden a los valores que tiene una variable y que cumplen con la función de dividir los datos ordenados en cuartos o cuatro partes con igual valor porcentual. Se distinguen en principio tres cuartiles, que se denotan regularmente con la letra Q: Q₁, Q₂ y Q₃. Sin embargo hay que prestar atención también a las definiciones que la teoría estadística da a cada uno de estos cuartiles. En este sentido se tiene lo siguiente:

Q1: también llamado primer cuartil, representa un valor por debajo del cual quedan un cuarto o 25% de los valores de sucesión, previamente ordenados

Q2: llamado segundo cuartil y considerado la mediana.

Q3: finalmente, el tercer cuartil representa a su vez el valor por debajo del que queda el 75% de todos los datos.

Cómo calcular Cuartiles

No obstante, existe un método matemático para calcular los cuartiles, tanto cuando se trata de cuartiles no agrupados como de cuartiles agrupados. Cabe entonces explicar cada uno de los procedimientos:

Cuartiles para datos no agrupados
El procedimiento para calculas cuartiles correspondientes a datos no agrupados resulta bastante sencillo, pues sólo toma cuatro pasos, los cuales serán explicados a continuación:

1.- Se deben ordenar los datos de forma sucesiva, y de mayor a menor.

2.- Se deberá calcular el cuartil usando la fórmula siguiente:

En donde n corresponde al tamaño total de la muestra, y k a la medida de posición que se está calculando.

3.-  Obtenido el resultado se debe determinar la naturaleza del valor, si corresponde a un número entero, se le debe sumar el valor de 0.5, si por el contrario el cálculo arrojó un número no entero se tomará con el valor del siguiente número entero de mayor tamaño.

4.- Una vez obtenida la medida de posición debe ubicarse en los datos que han sido ordenados.

Ejemplo
A continuación, se ofrece un ejemplo de cómo calcular el primer y tercer cuartil (Q1 y Q3) en base a la cantidad de alumnos que han asistido a clases a un colegio privado durante la primera quincena de clases (15 días) entre lunes y viernes.

En primer lugar se ofrecerán los datos estadísticos correspondientes a la asistencia, según sucedió esta:

30 28 27 30 25

30 29 29 27 29

28 30 30 30 29

De esta forma, a fin de calcular el Q1 y el Q3, lo primero que debe hacerse es ordenar de menor a mayor los datos:

25 27 27 28 28

29 29 29 29 30

30 30 30 30 30

Hecho esto se procede entonces a calcular el primer cuartil Q1. Para esto, se designa a cada variable un valor, procedimiento que generaría entonces que n= 15, k= 25 (porque esa es la medida de posición que busca el primer percentil.  Entonces se aplica la ecuación:

La cuenta ha dado 3,75 número éste que señala que el Q1 se encuentra entonces entre el tercer y cuarto dato, se regresa a los datos, y se busca cuáles son los valores del tercer y cuarto dato. En este ejemplo, el tercer dato correspondería a “27” y el cuarto dato a “28”. Obtenidos, se procede entonces a sumarlos y dividirlos entre dos:

Es decir, que durante 15 días, el Q1 correspondiente a los alumnos que asistieron a clases fue de 27,5. A fines de calcular el Q3, se realiza el mismo procedimiento, solo que el valor de la k será 75.

Cuartiles para datos agrupados
Sin embargo, puede ocurrir que los datos se encuentren dentro de una tabla de distribución de frecuencia. En cuyo caso se debe tener en cuenta que el primer cuartil será el valor que divide el 25% de los elementos correspondientes al 75% de aquellos valores restantes.

De esta forma para calcular el primer cuartil o el Q1, debe aplicarse la siguiente formula:

En la cual cada uno de los elementos corresponde a variables determinadas:

Q1: Primer cuartil

Lri: correponde al límite inferior de la clase que contiene Q1

N: tamaño de la muestra

Fa: es el número acumulado de observaciones precedentes a la clase de Q1

F: frecuencia de la clase.

AC: amplitud de la clase.

Por su parte el cálculo del tercer cuartil para los datos agrupados se calculará en base a la fórmula que se expresa seguidamente:

Finalmente la amplitud cuartilica se calculará restando el total de Q3 menos el total de Q1

Deciles

Por su parte los Deciles constituyen otro tipo de Medidas de Posición, conformados por ciertos valores que dividen la sucesión de datos que han sido ordenadas en diez partes, que son equitativas porcentualmente hablando. Ellos se denotan de la siguiente forma: D1, D2, D3….D9, aun cuando se leen “primer decil”, “cuarto decil”, etc. De acuerdo a las fuentes estadísticas son utilizados sobre todo para calcular el aprovechamiento académico.

Cómo calcular Deciles

Al igual que con los Cuartiles, los Deciles pueden ser calculados en base a si los datos se encuentran no agrupados, o por el contrario sí lo están. De esta forma, se tendrían dos formas de calcularlos:

Cálculo de Deciles de Datos no Agrupados
Si se tiene una serie de números o datos, correspondientes a distintos valores X1, X2… Xn, se deberán usar las siguientes fórmulas, según si el valor es un número par o impar. A continuación cada una de las ecuaciones a emplear de acuerdo al caso: 

Si n (número que corresponde al número de datos) y es par se deberá emplear la siguiente fórmula:

Si por el contrario n es impar, entonces se deberá aplicar la fórmula que se expresa a continuación:

Es importante señalar que en todos los casos A corresponderá al Decil que se desea calcular.

Cálculo de Datos Agrupados
Si por el contrario se trata de Datos Agrupados, la fórmula para calcular los Deciles corresponderá a la siguiente:

En donde cada una de las variables corresponden a los siguientes valores:

L_k: límite real inferior a la clase correspondiente al decil k

n:  será el número de datos

F_k: es equivalente a la frecuencia acumulada correspondiente a la clase que antecede a la que corresponde al decil k

f_k: por su parte esta variable corresponde a la frecuencia de la clase del decil k

c: longitud del intervalo correspondiente a la clase del decil k

Percentiles

Finalmente los percentiles, también conocidos como centiles son otras de las Medidas de Posición más comunes y empleadas, utilizadas sobre todo para clasificación de datos correspondientes a las medidas de las personas, como la estatura, el peso, el diámetro craneal, etc. Igualmente, técnicamente, son definidos como ciertos valores que dividen en cien partes idénticas porcentualmente hablando los datos que han sido ordenados de forma sucesiva de menor a mayor.  En cuanto a su denotación, esta corresponde a la forma P1, P2…. Pn, no obstante son leídas como Percentil 10, Percentil 90, etc.

Cómo calcular Percentiles

Tal como con las otras Medidas de Posición, los percentiles pueden ser medidos en cuanto a si corresponden a Datos no Agrupados o Agrupados, en cuyo caso se usarán procedimientos matemáticos distintos. A continuación una descripción de cada uno de ellos:

Percentiles de Datos no agrupados
Si se trata del cálculo de percentiles de datos no ordenados, se deberá tomar calcular en base a la siguiente fórmula:

En donde x es el número del percentil, n es equivalente al número total de datos y k el percentil.

Percentiles de Datos Agrupados
Por otro lado, si se desea calcular el percentil en base a datos que se encuentran agrupados, se deberá entonces emplear la siguiente fórmula:

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