Cálculo de la diagonal de un cuadrado

Quizás lo más conveniente, antes de abordar una explicación sobre la forma correcta en que debe medirse o calcularse la longitud de una diagonal, sea revisar algunas definiciones, que de seguro permitirán entender este tipo de procedimiento en su justo contexto geométrico.

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Definiciones fundamentales

De esta forma, puede que también resulte conveniente delimitar esta revisión teórica a siete definiciones específicas: la primera de ellas, el propio concepto de Geometría, pues esto permitirá conocer la naturaleza de la disciplina en medio de la cual ha surgido este procedimiento. Por otra parte, también será necesario revisar los conceptos de Polígonos, Triángulos, Hipotenusa, Catetos, Teorema de Pitágoras y Cuadrados. A continuación, cada una de estas definiciones:

Geometría

En consecuencia, se comenzará por decir que la Geometría ha sido explicada por los distintos autores como una de las principales disciplinas de las Matemáticas, así como la materia que se encarga de estudiar las diferentes formas y figuras, así como sus respectivas propiedades (volumen, área, longitud, etc.). De igual manera, hay fuentes que refieren la Geometría como la Ciencia de las medidas.

Con respecto a su origen histórico, existen fuentes que señalan que la Geometría debe ser comprendida como una de las materias matemáticas más antiguas. En este sentido, quienes se inclinan por esta teoría, señalan que así como los Números naturales pueden haber surgido del propio concepto de cantidad, manejado por el hombre primitivo, en su camino por aprender a contabilizar sus recursos, la Geometría pudo nacer de los intentos de estos hombres por entender, medir, manipular y replicar las diferentes formas de su entorno, para así poder generar herramientas y espacios cada vez más eficientes, recursos estos que por su parte aumentarían las posibilidades de sorbrevivencia de estos primeros humanos.

Polígonos

En segunda instancia, también será prudente lanzar luces sobre la definición de Polígonos, los cuales han sido explicados como aquellas figuras geométricas planas o bidimensionales, es decir, aquellas figuras en donde solo podrán encontrarse dos dimensiones: alto y ancho, sin que en ellas pueda encontrarse entonces la dimensión de la profundidad.

Así mismo, los Polígonos han sido descritos como figuras geométricas totalmente cerradas, puesto que ellas se encuentran totalmente delimitadas por un conjunto de segmentos de recta, elementos que le dan otra de sus características fundamentales a los Polígonos: el ser figuras geométricas que cuentan con todos sus lados planos.

Además, la Geometría ha señalado que los Polígonos contarán también con cuatro elementos, cada uno de los cuales es descrito de la siguiente manera:

  • Lados: en primer lugar, se encontrarán los lados, los cuales serán aquellos segmentos de recta que constituyen al polígono. De hecho, los polígonos se denominarán según el número de lados que posea cada uno de ellos.
  • Vértices: al ser una figura completamente cerrada, los lados que conforman el polígono tenderán a unirse, confluyendo entre sí. Estos puntos en común, se denominarán vértices.
  • Ángulos: empero, cuando los lados de un polígono confluyen entre sí, no sólo se creará un punto en común, sino que estos lados comenzarán a delimitar un espacio geométrico específico, en donde podrán encontrarse tres elementos específicos: dos lados, conformados por los segmentos de recta que lo delimitan; un vértice, el cual coincide por completo con el vértice del  polígono; y una amplitud específica, que se encuentra medida en grados sexagesimales.
  • Diagonales: por último, en el polígono también podrán verse Diagonales, las cuales podrán ser descritas como segmentos de recta, que se disponen entre dos vértices, que deben cumplir con el requisito de no disponerse de forma contigua.

Triángulos

Además, también será necesario lanzar luces sobre el concepto de Triángulos, los cuales serán definidos como aquellos polígonos, es decir, figuras geométricas planas y cerradas, delimitadas por tres lados. Así mismo, dentro de los Triángulos, podrán encontrarse igualmente cuatro elementos, explicados a su vez de la siguiente forma:

  • Tres lados: en primer lugar, los Triángulos poseerán tres lados, conformados por tres segmentos de recta. La diferencia o similitud entre las medidas de los lados de estas figuras serán consideradas como un criterio clasificatorio, que permitirá ordenar los triángulos en Triángulos escalenos, Triángulos equiláteros y Triángulos isósceles.
  • Tres vértices: así también, dentro de los Triángulos podrán contarse tres vértices, los cuales se conformarán en los puntos en donde se encuentren los lados que conforman y delimitan al triángulo.
  • Tres ángulos: por otro lado, los Triángulos tendrán también tres ángulos, los cuales se encontrarán delimitados por dos segmentos de recta, tendrán un vértice y una amplitud. Este último elemento será usado igualmente como un elemento clasificatorio, que permitirá ordenar los triángulos en Triángulos rectángulos, Triángulos obtusángulos y Triángulos acutángulos.
  • Sin diagonales: finalmente, los Triángulos se distinguirán por no contar entre sus elementos con diagonales. Esto se debe básicamente a que los triángulos presentan todos sus vértices contiguos.

Hipotenusa

De igual forma, resultará positivo lanzar luces sobre el concepto de Hipotenusa, el cual puede ser explicado en primer momento como un elemento propio de los triángulos rectángulos, es decir, que solo puede encontrarse en ellos. Por otro lado, la Hipotenusa también podrá ser explicada como el lado del triángulo rectángulo que resulta opuesto al ángulo que le da ese nombre a la figura, es decir, al ángulo que mide 90º, conocido también como ángulo recto.

Catetos

Por su lado, los catetos también serán elementos inherentes a los triángulos rectángulos, siendo explicados entonces como los lados del triángulo o aquellos segmentos de recta, que cumplen con la misión de encerrar o delimitar el ángulo recto, sirviendo entonces además como los lados del triángulo.

Teorema de Pitágoras

En cuanto al Teorema de Pitágoras, la Geometría lo explicará como una relación matemática entre la Hipotenusa y los catetos, que se pueden encontrar en el Triángulo rectángulo. En consecuencia, de acuerdo a lo que señala este teorema el cuadrado de la medida de la Hipotenusa siempre será igual a la suma de los cuadrados de las medidas los catetos, lo cual se puede expresar también en los siguientes términos:

a2  = b2 + c2

Cuadrados

En último lugar, será necesario señalar que los Cuadrados han de ser explicaos entonces como aquellos polígonos, es decir, figuras geométricas planas y cerradas, que se caracterizan por estar completamente delimitadas por cuatro lados o segmentos de recta. Así mismo, en los Cuadriláteros podrán encontrarse también cuatro distintos elementos, explicados de la siguiente manera:

  • Cuatro lados: de esta manera, los Cuadrados contarán con cuatro lados, los cuales poseerán iguales medidas entre ellos. Así mismo, se podrá decir que en el Cuadrado ocurre un paralelismo entre sus lados, el cual sucede en pares, por lo que también se puede decir que el Cuadrado es también un Cuadrilátero Paralelograma.
  • Cuatro vértices: siendo una figura cerrada, los Cuadrados poseerán cuatro distintos vértices, constituidos entonces por las uniones que suceden entre estos cuatro vértices. En el Cuadrado al menos dos de sus vértices no se encontrarán dispuestos de formas no contiguas.
  • Cuatro ángulos: así mismo, los Cuadrados poseerán cuatro distintos ángulos, uno por cada vértice. Así mismo, este tipo de figura geométrica se distinguirá por contar con cuatro ángulos rectos. Cada uno de estos ángulos contarán entonces con sus respectivos elementos: dos lados que delimitarán los polígonos; un vértice, que coincidirá con el del polígono y una amplitud, que será medida igualmente en grados sexagesimales.
  • Dos diagonales: con respecto a las diagonales, los Cuadrados se caracterizarán por contar con dos diagonales, las cuales deberán extenderse entre sus vértices no contiguos. A diferencia del triángulo, los Cuadrado si presentarán diagonales.

Cómo calcular la diagonal de un cuadrado

Una vez se han explicado cada uno de estos conceptos, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar una revisión sobre la manera correcta en que debe calcularse la medida de la diagonal de un cuadrado. En este sentido, lo primero que deberá decirse es que esta medida podrá determinarse por medio del Teorema de Pitágoras.

Es verdad que el Teorema de Pitágoras es una relación matemática inherente a los triángulos rectángulos, sin embargo puede usarse en el caso de querer encontrar la diagonal de un cuadrado, porque al trazarla, este segmento de recta que se extiende entre dos vértices no contiguos, divide al cuadrado en dos triángulos rectángulos, los cuales tienen como hipotenusa a la diagonal, y como catetos a los lados de los triángulos.

En consecuencia, toda vez que se quiera determinar cuánto mide la diagonal del cuadrado, será necesario determinar cuál es la medida de la hipotenusa. Por ejemplo, si se tuviera un cuadrado cuyos lados presentarán una medida equivalente a cinco centímetros, y se quisiera calcular qué medida presenta su diagonal, se procederá entonces de la siguiente forma:

a2 = b2 + c2

a = 7,07

Se tiene entonces que la diagonal de este cuadrado, que presentaba lados iguales a cinco centímetros será equivalente a 7,07 cm. Si se quisiera comprobar que esto es correcto, se haría uso igualmente del Teorema de Pitágoras, despejándolo entonces de la siguiente manera:

a2 = b 2 + c2

7, 072 = 52 + 52

49,9 = 50

Por aproximación, se tiene entonces:

50 = 50

Al obtener esta equivalencia, se concluye entonces que el Teorema de Pitágoras ha sido despejado de forma correcta, por lo que la medida que se ha encontrado ciertamente corresponde entonces a la diagonal del cuadrado.

Imagen: pixabay.com

Cálculo de la diagonal de un cuadrado
agosto 5, 2018


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