Cálculo de la longitud de una tangente

Quizás lo mejor, antes de abordar una explicación sobre la forma correcta en que debe calcularse cuál es la longitud de una tangente, sea revisar brevemente algunas definiciones, que de seguro permitirán entender este procedimiento geométrico en su contexto preciso.

Definiciones fundamentales

En consecuencia, puede que también sea conveniente delimitar esta revisión teórica a nueve nociones específicas: la primera de ellas, el concepto mismo de Geometría, pues este permitirá entender la naturaleza de la disciplina en la cual ha surgido este procedimiento matemático. Por otro lado, también será necesario precisar las definiciones de Polígonos, Triángulos, Triángulos rectángulos, Hipotenusa, Catetos, Teorema de Pitágoras, Circunferencia y Tangente. A continuación, cada uno de estos conceptos:

Geometría

En primer lugar, será necesario señalar que la Geometría ha sido explicada por las distintas fuentes como una de las principales disciplinas matemáticas, así como la materia que se encarga de estudiar las distintas formas y figuras, tanto en su naturaleza como en sus diferentes propiedades (longitud, área, altura, etc.). Igualmente, existen autores que definen la Geometría como la Ciencia de las medidas.

Con respecto a su origen histórico, la mayoría de las fuentes coinciden en señalar que la Geometría puede ser considerada como una de las disciplinas más antiguas de las Matemáticas. En tal sentido, quienes se inclinan por esta teoría afirman que así como el concepto de Números naturales pudo haber surgido directamente de la noción de cantidad, que empezó a tener el hombre primitivo, cuando intento contabilizar y administrar sus recursos, la Geometría pudo haberse generado de los intentos de estos primeros humanos por medir, entender, manipular y replicar las distintas formas de su entorno, con el fin de hacerse con armas y espacios cada vez más eficientes, los cuales le permitieran también contar con mayores posibilidades de sobrevivir.

Polígonos

Por otro lado, también será de provecho reflexionar sobre la definición de Polígonos, los cuales serán entendidos como aquellas figuras geométricas planas, en donde solo podrán encontrarse dos posibles dimensiones: alto y ancho, sin que en ellas pueda encontrarse la dimensión de la profundidad.

Igualmente, los Polígonos pueden ser descritos como figuras geométricas completamente cerradas, puesto que se encuentran totalmente delimitadas por un conjunto de segmentos de recta, que le dan otra de las características más importantes a los Polígonos: el contar con todos sus lados completamente rectos.

Además, la Geometría ha señalado que en los Polígonos podrán encontrarse también cuatro elementos, los cuales han sido descritos de la siguiente manera:

  • Lados: en primer lugar, se encontrarán los lados de esta figura geométrica, los cuales estarán conformados por segmentos de recta, y tendrán la responsabilidad de constituir los polígonos. De hecho, estas figuras se denominarán según el número de lados que tengan.
  • Vértices: siendo una figura cerrada, los lados de los polígonos se encontrarán entre ellos, creando puntos en común o de confluencia, denominados vértices.
  • Ángulos: sin embargo, cuando dos lados del Polígono se encuentran no sólo crean un vértice, sino que estos segmentos de recta comienzan a delimitar también un espacio geométrico específico, el cual contará a su vez con tres elementos: dos lados, constituidos por los segmentos de recta que lo delimitan; un vértice, que coincide por completo con el del polígono; y una amplitud, la cual puede ser medida en grados sexagesimales.
  • Diagonales: finalmente, dentro de los polígonos también se encontrarán las Diagonales, las cuales han sido explicadas como segmentos de recta, que se disponen entre dos vértices, que deben cumplir con el requisito de estar ubicados de forma no contigua.

Triángulos

En tercera instancia, también será recomendable traer a capítulo la definición de Triángulos, los cuales han sido explicados como los polígonos, es decir, figuras geométricas planas y cerradas, delimitadas totalmente por tres segmentos de recta. Es decir, los Triángulos son polígonos de tres lados rectos.

Por otro lado, en los Triángulos también podrán encontrarse cuatro elementos, cada uno de los cuales pueden ser descritos de la siguiente manera:

  • Tres lados: en primer lugar, los Triángulos estarán constituidos por tres lados. La diferencia o igualdad entre las longitudes de estos segmentos de recta será tomada como un criterio diferenciador, que permitirá clasificar los triángulos en Equiláteros, Isósceles y Escalenos.
  • Tres vértices: así también en los polígonos podrán encontrarse tres vértices, conformados por las distintas uniones de los lados que conforman esta figura geométrica.
  • Tres ángulos: en los triángulos se observarán igualmente tres ángulos, los cuales estarán conformados por tres elementos: dos lados, un vértice y una amplitud, medida en grados sexagesimales. Este último elemento será usado igualmente por la Geometría como un elemento clasificatorio, que permite ordenar los triángulos en Rectángulos, Acutángulos y Obtusángulos.
  • Sin diagonales: por otro lado, los triángulos se distinguirán por ser los únicos polígonos que no tendrán diagonales. Esto se debe a que en los triángulos todos los vértices se encuentran dispuestos de forma contigua, por lo que no se cumple la principal condición que se necesita para que puedan existir diagonales.

Triángulos rectángulos

De igual manera, será prudente lanzar luces sobre el concepto de Triángulos rectángulos, los cuales serán explicados por las distintas fuentes como una figura geométrica o polígono, delimitada por tres lados rectos, en donde habrán tres lados, tres vértices y tres ángulos, en donde uno de ellos será un ángulo rectángulo, es decir, que medirá 90º (noventa grados).

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Hipotenusa

Por su lado, la Hipotenusa es reconocida como uno de los elementos inherentes al Triángulo rectángulo, o en otras palabras, uno elemento que solo puede encontrarse en este tipo de triángulos. Con respecto a su definición específica, la Hipotenusa puede ser explicada entonces como el lado que resulta opuesto al ángulo rectángulo que se encuentra en el Triángulo rectángulo.

Catetos

Con respecto a los Catetos, estos elementos también serán entendidos como propios de los Triángulos rectángulos. Ellos son definidos como los lados que delimitan al ángulo recto, el cual a su vez resulta opuesto a la hipotenusa. Por ende, los catetos, además de ser lados del triángulo rectángulo, también serán los lados que delimitan al ángulo rectángulo, que constituye este tipo de figura geométrica.

Teorema de Pitágoras

Así también, será propicio tomar un momento para revisar el concepto del Teorema de Pitágoras, el cual puede ser definido como un tipo de relación matemática, existente en los Triángulos rectángulos, entre la hipotenusa y los catetos. En este sentido, el Teorema de Pitágoras plantea que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa será, siempre y sin excepción, igual a la suma de los cuadrados de los catetos, relación esta que puede ser expresada de la siguiente manera:

a2 = b2 + c2

Circunferencia

En cuanto a la definición de la Circunferencia, las diferentes fuentes geométricas han explicado que esta se trata de una línea curva, plana y cerrada, la cual se dispone alrededor de un centro, elemento de la circunferencia, que se caracteriza a su vez por encontrarse a una distancia equidistantes de todos los puntos que constituyen la curva de la circunferencia.

Al reparar en la Circunferencia, será también necesario advertir que este concepto no debe confundirse en ningún momento con el de Círculo, pues son entes geométricos diferentes. En primer lugar, la Circunferencia debe ser vista siempre como la curva plana y cerrada alrededor de un centro, mientras que el Círculo será el espacio geométrico que queda definido por la curva plana de la Circunferencia.

Tangente

Por último, será también importante revisar el concepto de Tangente, el cual refiere a una de las líneas rectas o segmentos de recta, que se definen según la posición o contacto, que tiene en relación con una Circunferencia en un espacio determinado. En consecuencia, la Tangente será aquella recta que toca o coincide con la circunferencia en un solo punto, sin que en ningún momento de su extensión vuelva a encontrarse con la curva plana y cerrada de la circunferencia.

Cálculo de la longitud de una tangente

Una vez se han revisado cada una de estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar una explicación sobre la forma correcta en que debe ser determinada la longitud de una recta tangente.

Esta operación se podrá llevar a cabo a través del Teorema de Pitágoras. Sin embargo, siendo esta una relación matemática solo presente en los Triángulos rectángulos, habrá que señalar que dos puntos distintos de la Tangente y el centro de la circunferencia podrán establecer distancias, que conformen finalmente un Triángulo rectángulo. De esta manera, el único punto de contacto que tiene la Tangente con la Circunferencia y el centro de la Circunferencia podrán establecer un lado del triángulo, así mismo se podrá establecer un lado del triángulo rectángulo entre el centro y un punto de la Tangente.

Por último, la propia tangente, será considerada como la Hipotenusa del Triángulo. Establecidos estos elementos, entonces, con el fin de determinar la longitud del polígono, será necesario simplemente usar el Teorema de Pitágoras, y calcular el valor de la Hipotenusa. La tangente y el lado que puede trazarse entre el punto de contacto y el centro de la circunferencia constituirán el ángulo de noventa grados.

Ejemplo de cómo calcular la longitud de una tangente

Sin embargo, puede que la forma más eficiente de concluir una explicación sobre este procedimiento geométrico, sea a través de un ejemplo específico, en donde pueda verse cómo determinar la longitud de este tipo de recta, tal como se ve a continuación:

Dada una circunferencia y una tangente, determinar cuál es la longitud de esta, a través del Teorema de Pitágoras. Para esto, se tomará en cuenta que la distancia entre el punto de la tangente y el centro es igual a 10 cm., mientras que la medida entre el centro y el segundo punto trazado en la tangente será igual a 6 cm.

Una vez dados estos entes geométricos, se deberá trazar el Triángulo rectángulo, y despejar entonces el Teorema de Pitágoras, buscando determinar cuál es la longitud de la Hipotenusa, tal como se ve a continuación:

a2 = b 2 + c2

Si se quisiera comprobar que la longitud de la Tangente ha sido adecuadamente calculada, entonces se usará también el Teorema de Pitágoras, a ver si usando el valor obtenido para sustituir la variable de la Hipotenusa, se comprueba cierta la equivalencia que esta relación establece:

a2 = b2 + c2

11,662 = 102 + 62

136 = 100 + 36

136 = 136

Imagen: wikipedia.org

Cálculo de la longitud de una tangente
agosto 7, 2018