Cómo comparar y ordenar números fraccionarios

Definiciones fundamentales

En este sentido, es probable que también sea conveniente enfocar esta revisión teórica en tres nociones específicas: la primera de ellas, la propia definición de números fraccionarios, pues esto permitirá tener clara la naturaleza de los números en base a los cuales se establecerán las distintas comparaciones. Así también, se revisarán las definiciones de fracciones propias e impropias, ya que cada una de estas clases de fracciones condicionará la forma en la que debe ser realizada la comparación entre ellas. A continuación, cada una de estas definiciones:

Números fraccionarios

De esta manera, será necesario comenzar entonces por revisar la definición que dan las Matemáticas sobre los números fraccionarios, los cuales son concebidos como aquellos elementos numéricos a través de los cuales se representan cantidades no enteras o exactas, de ahí que sean denominados números fraccionarios, puesto que dan cuenta de una fracción o porción de un número.

Así mismo, esta disciplina identifica los números fraccionarios –junto a los números enteros- como uno de los dos elementos que pueden encontrarse en el conjunto de los Números racionales, conocido también como el conjunto Q.

En cuanto a la expresión con la que cuentan los números fraccionarios, la mayoría de las fuentes matemáticas coinciden en señalar que pueden encontrarse básicamente dos de ellos: en consecuencia, los números fraccionarios podrán ser expresados a través de una expresión decimal, conformada por un número mixto en donde existe un número entero y uno decimal; al igual que por medio de una fracción, la cual contará en su parte superior con un numerador, encargado de decir cuál es la fracción que se toma del todo, y en la parte inferior, el denominador, que señala cuántas partes componen ese todo.

Fracciones propias

Por su lado, las fracciones propias serán entendidas como un tipo de fracción, caracterizada principalmente por contar con  un denominador menor que el denominador, situación que hace que la expresión decimal de este tipo de fracción siempre cuente con un número entero igual a cero, ubicándose en la recta numérica en un punto entre 0 y 1, de ser una fracción positiva.

Fracciones impropias

Contrariamente, las fracciones impropias serán aquellas que cuenten con un numerador mayor que el denominador. Al ser resueltas este tipo de fracción, dará como resultado un número mixto en donde la unidad será un número igual a uno o mayor que este, el cual siempre estará ubicado en la recta numérica –de ser positiva la fracción- a la derecha del uno.

Comparación de fracciones

Al igual que ocurre con los números naturales, en los números fraccionarios se pueden establecer comparaciones que lleven a fijar relaciones de igualdad o diferencia. En cuanto a este último criterio, las matemáticas también han fijado algunas reglas, que permitan saber cuál de las fracciones son mayores o menores, sin necesidad de resolver la fracción o conocer su expresión decimal. A continuación, algunas de ellas:

Si las fracciones son homogéneas según su denominador

Uno de los primeros casos abordados por las distintas fuentes matemáticas es aquel que da cuenta de las fracciones homogéneas que cuentan con el mismo denominador. En este caso, la comparación se hará evaluando el valor de los numeradores, y si las dos fracciones son positivas, resultará mayor la fracción con el numerador de mayor valor. Por ejemplo:

Si las fracciones son homogéneas según su numerador

En cambio, si las fracciones coinciden en numeradores, entonces serán los denominadores los que se tomarán en cuenta a la hora de conocer cuál de las dos fracciones es mayor. De esta forma, si las dos son fracciones positivas, resultará mayor la que posea el mayor denominador, tal como puede verse en el siguiente ejemplo:

Si las fracciones son heterogéneas según su numerador y denominador

Así también puede ocurrir que se desee comparar fracciones que no coincidan ni en cuanto a sus numeradores ni en sus denominadores. En este caso, las Matemáticas señalan que lo mejor será determinar un común denominador, lo cual se hace convirtiendo las fracciones que se quieren comparar en fracciones equivalentes, a través del siguiente procedimiento:

Al plantear esta multiplicación, se obtiene entonces dos fracciones con un común denominaror: bd, por lo que entonces será necesario simplemente revisar cuál es el producto de cada numerador, a fin de identificar cuál es el de mayor valor.

Por otro lado, las Matemáticas también señalan que este método puede ser abreviado, usando el procedimiento denominado multiplicación cruzada, en donde sólo –asumiendo que se encuentra un común denominador- se multiplicará el numerador de cada fracción por el denominador de la otra, y se tomará como fracción mayor la que arroje mayor producto.

Sin embargo, si se llegará a plantear una comparación entre fracciones heterogéneas, en donde una de ellas es una fracción propia, se asume directamente que esta es menor que otra que no lo sea.

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