Cómo dividir un polinomio entre un monomio (Regla de Ruffini)

Con el nombre de Regla Ruffini se conoce un método algebraico empleado para dividir cualquier clase de polinomio entre un binomio de forma x+r. Igualmente, las distintas fuentes teóricas afirman que este método promulgado por Paolo Ruffini, en 1809, cumple también con la función de identificar las raíces dentro del polinomio, a fin de factorizarlo en binomios de forma x+r.


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Pasos de la Regla Ruffini

Igualmente, como método algebraico al fin, la Regla Ruffini contempla una serie de pasos, que deben seguirse con el objetivo de hallar el cociente y el resto que se originan en base a la división de un polinomio, independientemente de su tipo, y un monomio de forma x+r (siendo r por su puesto un número racional entero). Entre ellos, se distinguen los siguientes:

  • Se deben revisar ambas expresiones, para así verificar que en realidad se trata de un polinomio y un monomio (x+r).
  • Así mismo, en caso de que el polinomio se encuentre desordenado, deberá ordenarse, preferiblemente de forma descendente, respetando los espacios de los grados que falten, en caso de ser un polinomio incompleto.
  • Hecho esto, se deberá expresar la operación en una calera, anotando del lado izquierdo del símbolo el término independiente del binomio, con su signo inverso, y del otro lado, solo los coeficientes de los términos, colocando el número cero (0) en el lugar donde falta algún grado.
  • Se comienza entonces a multiplicar el término independiente del binomio por el primer coeficiente del polinomio, anotando el resultado en una segunda fila, y justo debajo del segundo coeficiente. Se restan ambos números, y se anota el resultado, en una tercera fila, y justo por debajo de la línea de la galera.
  • Se repite la operación, hasta que se completen todos los términos. Se expresa el resultado, acompañando todos los términos nuevamente con sus variables, el cual será tomado como el cociente. El último término de la tercera fila será interpretado como el resto de la división.

Ejemplos de cómo aplicar la Regla Ruffini

No obstante, es probable que lo más pertinente sea revisar algunos casos que pueden servir de ejemplo a la forma correcta en que debe aplicarse este método algebraico en las divisiones entre polinomios y binomios (x+r) a fin de ver la puesta en práctica de lo que dicta la teoría al respecto. A continuación, algunos de ellos:

Ejemplo 1

Resolver la siguiente operación   5x5 + 3x4 + 2x3 + 9x2 + 2 :  x+ 2

Comprobado que en efecto ambas expresiones se tratan de un polinomio y un monomio, y que además dicho polinomio ya se encuentra ordenado de forma descendente, siendo un polinomio completo, se procederá a expresar la operación en la galera, tomando para ello el inverso del término independiente del binomio (que se colocará a la izquierda del signo) y sólo los coeficientes de los términos del polinomio (los cuales irán a la derecha de la galera):

 Hecho esto, se comenzarán a realizar las distintas operaciones, según lo que indica la teoría al respecto:

-2 . 5= -10 →  -10 + 3= -7
-2 . -7=  14 → 14 + 2= 16
-2 . 16 =  -32 → -32 + 9 = -23
-2 . 23= 46 → 46 + 2= 48

Se expresa el resultado, acompañando a los coeficientes nuevamente con sus literales, mientras que se toma el último término como el resto de la división:

Cociente: 5x4 – 7x3 + 16x2 – 23x + 46
Resto:   -90

Ejemplo 2

Resolver la siguiente operación 5x5 – 6 + 3x3 – 2x2 + 9x  :  x – 3

En este caso, una vez se ha comprobado que es posible aplicar la Regla Ruffini, puesto que se trata de la división de un polinomio entre un binomio de forma x+r, se pasará entonces a ordenar de forma descendente el polinomio:

5x5 – 6 + 3x3 – 2x2 + 9x →   5x5                + 3x3 – 2x2 + 9x – 6

Organizado, y dejado el espacio concerniente al grado 4, puesto que se trata de un polinomio completo, se deberá expresar la operación en la galera, resolviendo las operaciones planteadas :

Cociente: 5x4 + 15x3 + 48×2 + 142x + 435   
Resto: 1299

Ejemplo 3

Resolver la siguiente operación  3 –  4x5 + 2x2  :  x + 4

Verificado que, debido a las características de las expresiones, se puede aplicar la Regla de Ruffini, se procede a organizar y dejar los espacios pertinentes en este polinomio, que además de estar desordenado, es un polinomio incompleto:

3 –  4x5 + 2x2  →  -4x5                       2x2       +3

Igualmente, se expondrá la operación, usando para ello la galera. Una vez hecho esto, se harán las respectivas operaciones algebraicas:

Cociente: -4x4 + 16x3 – 64x2 + 258x – 1032
Resto: 4131

Imagen: pixabay.com

Cómo dividir un polinomio entre un monomio (Regla de Ruffini)
junio 8, 2017

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