Cómo repartir una cantidad en partes proporcionales a varias fracciones (Matemáticas)

Definiciones fundamentales

Sin embargo, puede que también sea de provecho delimitar esta revisión teórica a cinco nociones específicas: Razones, Proporciones, Magnitudes directamente proporcionales, Repartos directamente proporcionales, Mínimo común múltiplo y Reducción de fracciones a su mínimo común múltiplo, por encontrarse directamente relacionadas con el procedimiento que lleva a repartir un número en varias fracciones, de manera proporcional. A continuación, cada una de estas definiciones:

Razones

De esta manera, se comenzará por decir que las Matemáticas han explicado las Razones como una expresión matemática, que da cuenta del cociente entre dos números, es decir, de cuál es la cantidad de veces que un Divisor se encuentra contenido dentro de un Dividendo. Algunos ejemplos de razones pueden ser los siguientes:

Así mismo, las Matemáticas señalan la importancia de no confundir las Razones con las Fracciones, pues aun cuando pueden asemejarse en su apariencia, en realidad corresponden a expresiones diferentes. En este sentido, mientras las Fracciones son vistas como una expresión que –conformada por el numerador y el denominador- señala cuántas partes se han tomado de una unidad, que se ha dividido a su vez en varias partes iguales,  las Razones –constituidas por su parte por los antecedentes y consecuentes- dan cuenta del cociente entre dos números.

Proporciones

Por otro lado, también será de provecho detenerse un momento en el concepto de Proporciones, las cuales han sido descritas por las Matemáticas como la relación de igualdad que existe entre dos razones, es decir, las proporciones son dos razones que son iguales. Un ejemplo de este tipo de relación puede verse en las siguientes razones:

Al observar estas razones, se podrá ver cómo cada uno de los elementos que las constituyen cuentan con valores distintos, sin embargo, ellas pueden considerarse razones iguales, o proporcionales, en tanto que si se resolvieran, darían cuenta del mismo cociente, es decir, ambas razones se encuentran expresando el cociente 2.

Empero, esta no es la única forma de determinar si dos razones son o no proporcionales, pues de acuerdo a lo que señalan las Matemáticas esto también podrá precisarse a través del método de los extremos y los medios. Por consiguiente, toda vez que se sospeche que dos razones son proporcionales, se deberá entonces enfrentarlas, y proceder a multiplicar entre sí los extremos, es decir el antecedente de la primera expresión por el consecuente de la segunda, así mismo será necesario multiplicar los medios, o el consecuente de la primera razón por el antecedente de la segunda. Al hacerlo, ambas multiplicaciones, en caso de que las razones sean realmente proporcionales, deberán arrojar iguales resultados:

Esto es conocido dentro de las Matemáticas como una de las leyes de las proporciones, y resulta bastante útil a la hora de enfrentar una situación en donde se desconociera alguno de los valores de dos razones que pudieran resultar proporcionales, pues para eso sería tan sencillo como multiplicar los factores que sí se conocen –bien sea de los medios o los extremos- y dividir ese producto entre el único elemento que se conoce del ámbito de las razones que se desea conocer:

Magnitudes directamente proporcionales

En tercer lugar, también resultará conveniente lanzar luces sobre la definición de Magnitudes directamente proporcionales. No obstante, puede que lo mejor, antes de avanzar en este concepto, sea revisar de forma breve el propio concepto de Magnitudes, las cuales han sido explicadas entonces como un conjunto de elementos, que cuentan con la cualidad de poder sumarse, compararse u ordenarse.

Por su lado, las magnitudes directamente proporcionales serán aquellos conjuntos de magnitudes, en donde toda vez que una de ellas sea multiplicada o dividida por un factor específico, las otras se ven igualmente afectadas por ese factor.

Por ejemplo, si se visitara una tienda de telas, en donde ofertan 1 metro de terciopelo por 5 euros, y se quisiera saber cuál es el precio a pagar en caso de querer adquirir 5 metros de este material, se necesitaría simplemente, siendo entonces magnitudes directamente proporcionales, multiplicar cada uno de los elementos de las magnitudes por el factor planteado, teniendo entonces la siguiente relación:

1 metro de terciopelo → 5 euros
5 metros de terciopelo → 25 euros

Así mismo, será necesario señalar que toda relación entre magnitudes directamente proporcionales puede ser tenida como una proporción entre razones, lo cual conduce a que si se desconoce un elemento de ellas, se puede hallar por regla de tres. Es decir, toda vez que se quiera conocer cuál es el elemento que falta de un par de magnitudes proporcionales en donde se desconociera alguno de ellos, será necesario recordar la ley de la proporcionalidad sobre los medios y los extremos. Por tanto, se multiplican entre sí los números que se conocen, y se dividen entre el único número que aparece en el ámbito que se desea conocer.

Reparto directamente proporcional

Por otro lado, las Matemáticas han explicado igualmente el concepto de Reparto directamente proporcional, el cual es tenido entonces como un procedimiento matemático, en donde se busca determinar de qué forma proporcional debe ser repartida una cantidad entre números o factores precisos.

Este procedimiento resulta bastante útil en el ámbito de la vida diaria, puesto que podría ayudar por ejemplo a conocer cuál es la forma justa en que se debe por ejemplo repartir una cantidad de dinero adquirida por un trabajo entre los empleados que han participado, según las horas o la producción que cada uno ha desempeñado individualmente.

Mínimo común múltiplo

Por otro lado, será también importante señalar que las Matemáticas consideran que el Mínimo común múltiplo (m.c.m) que existe entre varios números, siempre corresponde al menor de los múltiplos comunes que se puede encontrar entre todos ellos. Así mismo, la disciplina matemática ha señalado que a la hora de resolver este tipo de operaciones, será entonces necesario empezar por factorizar los números de los cuales se desea determinar el mínimo común múltiplo. Hecho esto se busca cuáles son los factores comunes, elevados al mayor exponente. El producto entre ellos, puede ser considerado entonces el m.c.m.

Sin embargo, puede que la mejor forma de abordar un ejercicio de este tipo sea a través de la exposición de un ejemplo concreto, tal como el que se muestra a continuación:

Determinar el Mínimo común múltiplo (m.c.m) de los siguientes números: 12, 16 y 48

Se comienza entonces a factorizar cada uno de estos números:

Reducción de fracciones a un común denominador

Por último, será igualmente prudente tomar en consideración el concepto de Reducción de fracciones al común denominador, procedimiento matemático que busca determinar en un grupo de fracciones cuáles otras fracciones les resultan equivalentes, a fin de que todas las expresiones matemáticas cuenten con igual denominador.

Para realizar este procedimiento, será entonces necesario comenzar por determinar cuál es el mínimo común múltiplo de los diferentes denominadores de las fracciones a reducir. Al encontrar el mcm se tomará como el denominador de todas las fracciones a reducir. En el lugar correspondiente a cada numerador se tendrá el número que se obtiene luego de que se ha dividido el mcm entre el denominador original de cada caso, y luego se ha multiplicado por el numerador.

No obstante, puede que en este caso también se necesite revisar un ejemplo concreto, en donde se pueda ver de forma práctica cómo se debe realizar este procedimiento. A continuación, entonces un ejemplo de reducción de fracciones a un común denominador:

Suponiendo que se tienen las siguiente fracciones, y se desea reducirlas a su común denominador, se tendrá entonces lo siguiente:

Hallado el mcm, se procede entonces a hallar las fracciones equivalentes:

Repartir un número en partes proporcionales a varias fracciones

Una vez se han revisado cada una de estas definiciones, puede entonces que ciertamente sea mucho más sencillo revisar de forma breve algunas definiciones, que de seguro permitirán entender de forma mucho más sencilla cómo resolver todo procedimiento destinado a repartir un número en partes proporcionales a varias fracciones, los cual contemplaría varios pasos:

1. Lo primero que debería realizarse es la reducción de las fracciones, para determinar cuál es el común denominador, así como las fracciones equivalentes.
2. Hecho esto, se realiza entonces la repartición directamente proporcional a los numeradores de las fracciones equivalentes, para lo cual se crea una razón que tiene como antecedente el total a repartir y como consecuente la suma entre los distintos numeradores. Esta razón, o el cociente que arroja debe multiplicarse por el numerador de la fracción que necesita despejarse, para comprender cuánto le corresponde proporcionalmente del número a repartir.

Sin embargo, en este caso puede que también surja como necesario revisar un ejemplo concreto, que permita ver la forma en que debe resolverse cada uno de estos ejercicios. A continuación, uno de ellos:

Cómo se debería repartir 3000 en partes proporcionales a las siguientes fracciones:

Se comienza entonces por encontrar el común denominador:

Posteriormente, se buscan entonces las fracciones equivalentes:

Hecho esto, se buscará entonces determinar cómo debe ser el reparto de la cantidad entre cada una de las fracciones:

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