Cómo representar una ecuación de primer grado

De acuerdo a lo que señalan las Matemáticas, toda ecuación de primer grado cuenta con una representación gráfica. Sin embargo, antes de abordar una explicación sobre la forma en que esto debe hacerse, se revisarán algunas definiciones, que de seguro permitirán entender este procedimiento matemático en su justo contexto.


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Definiciones fundamentales

En este sentido, se decidirá igualmente delimitar esta revisión teórica a seis nociones específicas: Término algebraico, Ecuación, Conjunto, Correspondencia, Función, Variables de la Función y Eje de coordenadas, por encontrarse directamente relacionadas con la acción de llevar a un sistema de coordenadas toda ecuación de primer grado. A continuación, cada una de estas definiciones:

Término algebraico

De esta manera, se comenzará por decir que el Término algebraico ha sido explicad por las distintas fuentes como una expresión matemática, conformada por un término abstracto numérico y un término abstracto literal, entre los que ocurre una multiplicación, siendo esta la única operación que puede ocurrir entre ellos, quedando entonces exceptuadas las operaciones de suma, resta o división.

Así mismo, el Término algebraico ha señalado que en el Término algebraico también se podrán encontrar cuatro distintos elementos, cada uno de los cuales han sido explicados de la siguiente manera:

  • Signo: será el primer elemento que pueda encontrarse en el término algebraico, toda vez que se realice una lectura de izquierda a derecha. La misión de este elemento es señalar cuál es la naturaleza del término, es decir, si este es positivo o negativo.
  • Coeficiente: por su parte, el segundo elemento en esta lectura de izquierda a derecha será el Coeficiente, el cual se encontrará conformado por un elemento numérico, el cual cumplirá con la tarea de mostrar cuál es el valor por el cual debe multiplicarse el elemento literal toda vez que asuma un valor específico.
  • Variable: así mismo, luego del Coeficiente, se encontrará la variable, la cual está conformada por un elemento literal, que cumple con la tarea de asumir distintos valores, que se multiplicarán por el coeficiente.
  • Grado: por último, en el Término algebraico también se encontrará el Grado, el cual vendrá determinado por el exponente al cual se encuentra elevado el elemento literal. En caso de que el elemento literal no cuente con un exponente explícito se asume que este es igual a la unidad, mientras el término será de primer grado. Por otra parte, si sucediera que el término algebraico cuenta con varios elementos literales, el grado de este será dado por el exponente de mayor valor.

Ecuación

En segunda instancia, será también necesario pasar revista sobre el concepto de Ecuación, la cual ha sido explicada como una igualdad literal, en donde la variable se presenta como una incógnita, cuyo valor preciso viene a hacer que la igualdad expresada se cumpla. Un ejemplo de este tipo de igualdad literal será la siguiente:

x + 4 = 9

Teniendo esta expresión, se puede hacer el ejercicio de sustituir la x por varios valores, a fin de identificar si cualquiera de ellos produce la igualdad, o si esta se cumple con solo uno de ellos:

2 + 4 = 9 → 6 ≠ 9
3 + 4 = 9 → 7 ≠ 9
8 + 4 = 9 → 12 ≠ 9
5 + 4 = 9 → 9 = 9

Al hacerlo, se descubre entonces que la igualdad literal expresada sólo se cumple cuando x = 5. Teniendo solo la posibilidad de que la variable asuma un valor en específico, la expresión es identificada como una Ecuación. En caso de que la igualdad pudiera cumplirse con cualquier valor, entonces la expresión sería entendida como una Identidad.

Así mismo, es necesario señalar que toda Ecuación cuya variable no cuente con un exponente explícito será entendida como igual a la unidad, mientras que la Ecuación se considerará de primer grado.

Conjuntos

Por otro lado, se lanzarán luces también sobre el concepto de Conjunto, el cual ha sido explicado como un objeto matemático, conformado por una serie de elementos, que se caracterizan a su vez por pertenecer a la misma naturaleza, de ahí que algunos autores hayan definido al Conjunto, igualmente como una colección abstracta de elementos homogéneos.

Otra de las características que cumplen los Conjuntos, tal como lo señala la Matemática, es la de tener la capacidad o propiedad de determinar a la colección a la cual pertenece, de forma única y exclusiva. Con respecto a la forma en que el Conjunto debe ser expresado, las distintas fuentes señalan que este objeto debe ser denominado en todo momento por medio de una letra mayúscula, mientras que sus elementos se expresarán siempre como una enumeración, separados por comas, e incluidos entre llaves: { }

Correspondencia

Otro de los conceptos que deben tenerse en cuenta es el de Correspondencia, el cual ha sido explicado como la relación que existe entre dos conjuntos, siempre que uno, alguno o todos los elementos de uno de ellos, de acuerdo a un criterio específico, encuentre relación con uno, alguno o todos los elementos de la otra colección. A continuación, un ejemplo de este tipo de relación:

Además, en toda relación de Correspondencia entre conjuntos se podrán distinguir tres tipos de conjuntos, los cuales han sido explicados de la siguiente forma:

  • Conjunto inicial: conocido también como Conjunto de inicio, puede ser definida como la colección de la cual se genera la correspondencia, así como los signos de flecha que son empleados para señalar esta relación. En cuanto a sus elementos, estos son denominados antiimagen, y cumplen con la tarea de ejercer como el segundo elemento del par de correspondencia.
  • Conjunto final: por su lado, denominado igualmente como Conjunto de llegada, constituye la colección en la cual desemboca la relación de Correspondencia. Con respecto a los elementos que constituyen este objeto, las Matemáticas los denominan como imagen, mientras les asignan la tarea de ejercer como segundo elemento del par de correspondencia.
  • Grafo: por último, en la Correspondencia también se encontrará el Grafo, el cual ha sido explicado como el conjunto conformado por los distintos pares de correspondencia que se crean entre los elementos antiimgen y sus imágenes respectivas.

Función

Así mismo, se debe traer a capítulo la definición de Función, la cual ha sido explicada como toda relación de Correspondencia, establecida entre conjuntos, en los que puede observarse que todos los elementos relacionados del conjunto de inicio cuentan con una sola imagen en el conjunto de llegada. Un ejemplo de este tipo de relación entre colecciones será el siguiente:

Variables de la Función

Igualmente, las Matemáticas han señalado que en la Función pueden encontrarse dos distintas variables, cada una de las cuales son definidas de la siguiente forma:

  • Variable independiente: es denominada como variable x, al tiempo que es explicada como un tipo de variable cuyo valor no depende de ninguna otra variable. En el par de correspondencia, esta variable ejerce como el primer elemento.
  • Variable dependiente: por otro lado, se encontrará también la variable denominada dependiente o variable y. El valor de ella depende del resultado obtenido cuando el valor de x es sometido a la ecuación de la función. En el par de correspondencia, esta variable ejerce como el segundo elemento de esta expresión.

Eje de coordenadas

Por último, será necesario prestar atención al concepto de Eje de coordenadas, el cual ha sido explicado como el sistema bidimensional, conformado por dos rectas perpendiculares, que sirven de guía a la hora de ubicar las distintas coordenadas, y el punto que se origina de ellas, en un plano. En este sistema se pueden distinguir tres distintos elementos:

  • Eje de las abcisas: este recibe el nombre también de eje x, y se dispone de forma horizontal. Sirve de guía a la hora de ubicar la variable x del par de correspondencia.
  • Eje de las ordenadas: conocido igualmente como eje y, a diferencia del eje de las abcisas, el de las ordenadas es una recta que se dispone de forma vertical. Este eje sirve de guía para ubicar el valor de la variable y.

Representación gráfica de ecuaciones de primer grado

Toda vez se han revisado cada una de estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar la forma adecuada en que debe graficarse toda ecuación de primer grado, lo cual se deberá hacer siguiendo los pasos que se nombran a continuación:

1.- En primer lugar se verificará si la Ecuación es una ecuación de primer grado, lo cual será así siempre que la variable o variables se encuentren elevadas a la unidad.

2.- Determinado esto, se procede a resolver la ecuación, usando el valor de x para obtener y

3.- Con estas dos variables, se expresará el par de correspondencia.

4.- Se irá al eje de coordenadas, y en el eje x, se buscará ubicar la variable y.

5.- Igualmente se buscará ubicar en el eje y la variable y.

6.- Se marcará el punto en donde coincidan ambas variables.

7.- Se repetirá esta operación varias veces, dándole entonces distintos valores a x.

8.- Se busca unir las distintas variables por medio de una línea.

De acuerdo a lo que señalan las fuentes matemáticas, por lo general siempre que se representa una ecuación de primer grado en el eje de coordenadas, se obtiene, al unir los distintos puntos, una línea, que cuenta con una inclinación, que puede ser medida en grados, tomando como base el ángulo recto que establecen las dos líneas rectas perpendiculares del eje de coordenadas.

A este tipo de gráfico se le conoce entonces como Funciones lineales. Es decir, que las Funciones lineales por lo general son la representación gráfica de las ecuaciones de primer grado. Un ejemplo de este tipo de función será el siguiente:

Imagen: pixabay.com

Cómo representar una ecuación de primer grado
marzo 29, 2019

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