Complemento de un conjunto

Antes de abordar la definición que da el Álgebra de Conjuntos respecto al Complemento de un conjunto, quizás lo mejor sea revisar la propia definición del objeto en base al cual se da esta operación o relación de complemento.


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Definición de Conjunto

En este sentido, entonces lo más conveniente puede ser comenzar por el concepto de Conjunto, el cual ha sido definido por las Matemáticas como un objeto conformado por una colección abstracta de elementos, en los cuales puede identificarse un rasgo en común, el cual permite además que este grupo de elementos sean catalogados como pertenecientes a la misma naturaleza. Así mismo, la disciplina matemática ha señalado que la notación de este tipo de objetos debe estar constituida por tres directrices básicas: en primer lugar, el Conjunto recibirá por nombre el de una letra mayúscula; en segundo lugar, los elementos que lo conformen irán separados por comas y presentados como si de un listado se tratara; finalmente, la lista de elementos que conforman el conjunto deberá ir contenida entre signos de llaves: { }.

Características del conjunto

Por otro lado, las Matemáticas también se han dado a la tarea de señalar algunos rasgos propios del Conjunto, los cuales son identificados como características de este tipo de objetos matemáticos,  y que pueden resumirse en los siguientes puntos:

  • En primer lugar, el Conjunto se encontrará conformado por sus elementos.
  • Así también, según la norma matemática, son los Elementos los únicos con capacidad para definir de forma única y exclusiva al Conjunto.
  • Finalmente, al establecerse en base a un criterio de agrupación de deben cumplir todos los elementos que conforman en un principio el Conjunto, así como aquellos que se sumen a esta colección, el Conjunto no sufre entonces peligro de cambiar en el momento en que crezca o incorpore más elementos a su colección.

Operación de Diferencia

Igualmente, puede ser importante revisar la definición que ofrece en Álgebra de Conjuntos sobre la operación de Diferencia de conjuntos, la cual puede ser entendida a su vez como una operación básica en donde un conjunto A y un conjunto B establecen un conjunto A\B conformado por todos aquellos elementos que estando en A no se encuentran en B. La expresión matemática de esta operación corresponderá al signo de la barra invertida o backslash (\).

Complemento del Conjunto

Con la definición del Conjunto presente, puede que sea un poco más sencillo aproximarse a la definición de Complemento de un conjunto -o Conjunto complementario, como también se conoce- la cual es definida como la situación en donde, en base a un Conjunto Universal –entendido como aquella colección en donde se encuentra el universo pleno de elementos- se establece un conjunto en donde se cuentan como elementos todos aquellos que no aparecen en el conjunto dado en primer momento. La forma de expresar este tipo de conjunto, será a través del nombre del conjunto al que complementa unido a una C, usada en superíndice: A, mientras que la operación que conduce a su cálculo implica determinar la Diferencia del Conjunto Universal y el Conjunto Dado:  A= U\A.

Pasos para establecer el Complemento de un Conjunto

Igualmente, el Álgebra de Conjuntos, según la definición del Complemento del Conjunto ha establecido algunos pasos que deben seguirse  la hora de identificar cuál es el conjunto complementario de una colección determinada. Estos se pueden resumir en los siguientes:

  • En primera instancia, a la hora de establecer el Complemento de un Conjunto, se debe declarar cuál es el Conjunto Universal al cual se deberán ambos conjuntos, y que puede ser interpretado como la colección en donde residen de forma plena tanto los elementos del conjunto dado, como de su complemento.
  • En segundo lugar, se realizará una operación de Diferencia entre el Conjunto Universal y el conjunto dado, pues esta operación permitirá deducir cuáles son los elementos del Conjunto Universal que no están en el Conjunto dado, y que pueden ser interpretados como el Conjunto complementario de éste: A= U\A.
  • Finalmente, se expresarán los tres conjuntos: el universal, el conjunto como tal y el conjunto complementario.

Ejemplo de Complemento de un conjunto

No obstante, quizás la forma más eficiente de explicar en qué consiste el Complemento de un Conjunto sea a través de la exposición de un caso concreto, en donde se pueda ver en la práctica cómo se cumple aquello señalado por la teoría. A continuación, un ejemplo de Complemento de Conjunto:

Determinar el Complemento del conjunto A, conformado por frutas que empiezan por “m”: A= {Mora, Manzana, Mandarina, Mamoncillo}

Para cumplir con lo solicitado en este ejercicio, se deberá determinar el Conjunto Universal, que será aquel en donde se encuentra el universo pleno de las frutas que empiezan con la letra “m”:

U= {Maní, Merey, Mamoncillo, Mandarina, Mango, Manzana, Maracuyá, Melón, Mora, Manzana, Membrillo}

Seguidamente, se procederá a realizar una operación de Diferencia entre el Conjunto Universal y el conjunto A, pues el conjunto resultante será tomado como el Conjunto Complementario:

U= {Maní, Merey, Mamoncillo, Mandarina, Mango, Manzana, Maracuyá, Melón, Mora, Manzana, Membrillo}

A= {Mora, Manzana, Mandarina, Mamoncillo}

A= U\A

A= {Maní, Merey, Mamoncillo, Mandarina, Mango, Manzana, Maracuyá, Melón, Mora, Manzana, Membrillo} \ {Mora, Manzana, Mandarina, Mamoncillo}

A= {Maní, Merey, Mamoncillo, Mango, Maracuyá, Melón, Membrillo}

 

De esta forma, se ha determinado entonces los siguientes conjuntos:

Universal
U= {Maní, Merey, Mamoncillo, Mandarina, Mango, Manzana, Maracuyá, Melón, Mora, Manzana, Membrillo}

Conjunto
A= {Mora, Manzana, Mandarina, Mamoncillo}

Conjunto complementario
A= {Maní, Merey, Mamoncillo, Mango, Maracuyá, Melón, Membrillo}

Imagen: pixabay.com

Complemento de un conjunto
junio 27, 2017

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