Conjunto potencia

Definiciones fundamentales

En consecuencia, puede resultar pertinente abordar la noción de conjunto, a fin de tener presente la naturaleza de objeto matemático sobre la cual se da la definición de Conjunto Potencia. Así mismo, será necesario revisar las definiciones de Subconjunto y la de Cardinal, puesto que ellas también serán de suma importancia al entrar en materia sobre el Conjunto Potencia. A continuación, cada uno de estos conceptos:

Conjunto

De esta forma, se comenzará entonces por la definición de Conjunto, el cual puede ser entendido como una colección abstracta, conformada por un grupo de elementos, entre los cuales puede encontrarse un elemento en común, de ahí que este conjunto de elementos pueda ser visto entonces como una agrupación. Igualmente, las Matemáticas han señalado que una de las principales características del Conjunto es la de encontrarse conformada, de forma única y exclusiva, por sus elementos.

Subconjunto

Por otro lado, surge también como necesario pasar revista sobre el concepto de Subconjunto, el cual ha sido definido por el Álgebra de Conjuntos como un Conjunto, que cuenta con la propiedad de tener todos y cada uno de sus elementos, contenidos por otra colección abstracta, por lo general de mayor tamaño, es decir, que cuenta con muchos más elementos. En otras palabras, el Subconjunto podrá ser entendido entonces como un conjunto que puede considerarse que forma parte de otro conjunto. En cuanto a la expresión matemática de este tipo de conjunto, las Matemáticas han señalado la siguiente:

A ⊆ B

Cardinal del Conjunto

Finalmente, puede que también sea relevante la definición de Cardinal del Conjunto, el cual es explicado como la suma de elementos que tiene un conjunto dentro de sí. En otras palabras, suponiendo que se tiene un conjunto A= {a, b, c, d, e} en él se podrá contar un total de cinco elementos, por lo que entonces se puede decir que el cardinal del conjunto A es 5, hecho que se puede expresar matemáticamente de la siguiente manera: │A│ = 5

Conjunto Potencia

Con estas definiciones presentes, quizás sea mucho más sencillo explicar entonces el concepto de Conjunto Potencia, el cual ha sido definido a su vez por el Álgebra de conjuntos como la colección abstracta conformada por todos los subconjuntos de un conjunto dado. Es decir, que el Conjunto Potencia de un conjunto específico será otro conjunto en donde se puedan contar como elementos cada uno de los subconjuntos que este conjunto pueda tener. No obstante, puede que la forma más eficiente de explicar el Conjunto Potencia sea a través, continuación, tal como el que se muestra a continuación:

Dado el conjunto A= {1,2,3} señalar su Conjunto Potencia.

Para esto, será necesario entonces conformar un Conjunto, en donde se puedan contar todos los subconjuntos de A:

P (A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}

¿Cuántos subconjuntos debe tener el Conjunto Potencia?

Quizás una de las primeras dudas al estar en frente del Conjunto Potencia sea cuántos subconjuntos debe tener, y aunque la respuesta sea todos los que tiene el conjunto dado, todavía faltan datos más precisos. Por fortuna, las matemáticas han señalado el método preciso de poder saber cuántos son los subconjuntos que tiene cualquier conjunto, lo cual a su vez ayudará siempre ha comprobar si en efecto se ha llegado al Conjunto Potencia correcto. Este método radica en la siguiente operación:

│P(A)│= 2ⁿ

Operación que puede ser leída como que el Cardinal del Conjunto Potencia de A es igual a la potencia de base dos, elevada al número de elementos que tiene el conjunto dado. Para colocar un ejemplo concreto de esto, tal como el que se muestra a continuación:

Dado el conjunto B= {a, b, c} determinar el Conjunto Potencia:

P(B)= {∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a, b, c}}

Al hacerlo, se obtendrá un Conjunto Potencia, conformado por ocho subconjuntos de B. Sin embargo, si se quisiera comprobar si este resultado es correcto, bastaría entonces con calcular el cardinal del Conjunto Potencia:

│P(B)│= 2^│B│

│P(B)│= 2³

│P(B)│= 8

Obtenido este número, se contarán entonces cada uno de los elementos del Conjunto Potencia. En este caso, el conteo daría 8, tal como el resultado del cardinal de este conjunto. Por ende, se puede considerar correcto el Conjunto Potencia.

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