Conjunto Universal como referencia del Conjunto Complementario

Definiciones fundamentales

En consecuencia, puede que sea pertinente comenzar por la propia definición de Conjunto, a fin de tener presente la naturaleza del objeto matemático respecto al cual se establece las nociones de Conjunto Universal, así también como la de Conjunto Complementario, definiciones que puede que resulte positivo revisar igualmente. A continuación, cada una de ellas:

Conjunto

En primer lugar, se dirá entonces que las Matemáticas, en líneas generales, han definido al Conjunto como una colección abstracta, conformada por una serie de elementos, entre los cuales puede encontrarse al menos un conjunto en común, de ahí que puedan ser entendidos entonces como una agrupación o colección. Por otro lado, esta disciplina ha señalado que el Conjunto puede considerarse como poseedor de una característica principal: la de estar conformado y definido por sus elementos, de forma única y exclusiva.

Conjunto Universal

Con respecto al Conjunto Universal, este ha sido explicado por el Álgebra de Conjuntos como una colección que se caracteriza por contener de forma plena todos los elementos de un universo o contexto matemático específico, lo cual explica que reciba el nombre de Conjunto Universal, aun cuando existen otras corrientes que también lo reconocen con la denominación de Conjunto referencia. Así mismo, esta disciplina matemática ha indicado que el Conjunto Universal es definido según la conveniencia, o de acuerdo a las necesidades que presente un ejercicio particular.

Conjunto complementario

Finalmente, será necesario pasar revista sobre la definición de Conjunto complementario, el cual será entendido entonces como aquel conjunto, que se da en cuanto a un conjunto dado, y que contiene todos los elementos que no pueden encontrarse en éste, teniendo siempre como referencia al Conjunto Universal. De hecho, a fin de establecer el Conjunto complementario de un conjunto, se deberá establecer una operación de diferencia entre el conjunto dado y el Conjunto Universal.

Propiedad de U como referencia de A^∁

Teniendo presente estas definiciones, puede que resulte un poco más sencillo comprender el postulado de la Propiedad de U como referencia de A^∁, el cual reza expresamente, que siempre que se necesite establecer el Conjunto Complementario de A, es decir, la colección conformada por los elementos que no se encuentran en ella, se deberá tener como referencia al Conjunto Universal, pues es el que dará idea del total de elementos del contexto, así como de aquellos que no aparecen en A, y que conforman al Conjunto complementario. Con respecto a la operación del Álgebra de Conjuntos que puede expresar esta situación, se puede tener la siguiente:

A^∁ = U \ A

Ejemplo de la propiedad de U como referencia de A^∁

En este sentido, puede que la forma más adecuada de explicar la relación de referencia del Conjunto Universal en la determinación del Conjunto complementario sea la realización de una operación conducida a establecer este tipo de colección con respecto a un conjunto dado, tal como se muestra a continuación:

Dado un conjunto A, conformado por nombres de ciudades: A= {Roma, Rosario, Cali, Barinas, Berlín} determinar su Conjunto complementario, teniendo en cuenta al Conjunto Universal: U= {Roma, Rosario, Cali, Barinas, Berlín, Madrid, Caracas, Bogotá, Londres, París, Seúl, California}

A fin de cumplir con lo solicitado en este postulado, se deberá entonces establecer una operación de diferencia entre el conjunto dado y el Conjunto Universal, el cual será en todo momento el conjunto de referencia para determinar el conjunto complementario, lo que a su vez comprobará la Ley matemática que señala a U como referencia de A^∁:

A= {Roma, Rosario, Cali, Barinas, Berlín}
U= {Roma, Rosario, Cali, Barinas, Berlín, Madrid, Caracas, Bogotá, Londres, París, Seúl, California}

A^∁ = U \ A
A^∁ = {Roma, Rosario, Cali, Barinas, Berlín, Madrid, Caracas, Bogotá, Londres, París, Seúl, California} \ A= {Roma, Rosario, Cali, Barinas, Berlín}

A^∁ = {Madrid, Caracas, Bogotá, Londres, París, Seúl, California}

De esta manera, tal como dicta la Ley matemática, siempre que se quiera establecer el Conjunto complementario de una colección será necesario determinarlo teniendo como referencia el Conjunto Universal, pues es este el que revelará cuáles son los elementos de un contexto matemático que no estén en A.

Otras propiedades con respecto a U y ∅

Así mismo, la Teoría de conjuntos indica que entre el Conjunto Universal y el Conjunto vacío también puede darse la existencia de propiedades matemáticas que refieran a una relación de complementariedad entre ellos. En este orden de ideas, se encontrará entonces en primer lugar existe una propiedad que señala que en todo momento el Conjunto Universal será complementario del Conjunto vacío, lo cual se expresará a su vez de la siguiente forma: U^∁ = ∅; en contravía, la Teoría de conjuntos indica que se puede hablar también de una propiedad que indica que el Conjunto vacío siempre será entendido como el Conjunto complementario del Conjunto Universal, es decir ∅^∁ = U.

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