Conjunto vacío

Es probable que antes de abordar la definición y demás propiedades del Conjunto vacío, sea necesario recordar aquellas nociones bajo las cuales es entendido el propio concepto de Conjunto, a fin de poder entender esta primera definición en su contexto adecuado.

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Conjunto

En este sentido, es necesario comenzar por la definición de Conjunto, el cual es entendido por la Matemáticas como un objeto, constituido por un listado de elementos, los cuales han logrado conformar una colección, ya que en todos ellos puede verse al menos un rasgo en común, que permite verlos como pertenecientes a la misma naturaleza. Así mismo, en cuanto a su notación, las distintas fuentes teóricas coinciden en señalar que estos objetos, es decir, el Conjunto debe ser nombrado por una letra mayúscula, mientras que los elementos que lo conforman deben presentarse en forma de lista, siendo separados por una coma, además de estar contenidos por dos signos de llaves {}.

Características de los Conjuntos

Otro aspecto que surge como importante, a la hora de construir referencias necesarias para entender la definición de Conjunto Vacío, es la revisión de aquellos aspectos que son concebidos como Características de los Conjuntos, y que pueden ser resumidos de la siguiente manera:

  • El Conjunto está conformado única y exclusivamente por sus elementos, por consiguiente, estos son los únicos con capacidad de crearlo.
  • Estos elementos son presentados como un listado.
  • Al formarse en base a aquellos elementos que se reúnen gracias a poseer una característica en común, los elementos que quieran unirse de forma posterior, sólo podrán hacerlo si cumplen con este rasgo, por lo que el Conjunto, una vez definido, no sufrirá riesgo de cambiar o verse alterado, en la medida en que crezca.
  • Su magnitud depende del número de elementos que contiene, pues estos pueden ser tanto finitos como infinitos. Igualmente, aunque la colección que se forma en base a los elementos es de naturaleza abstracta, los elementos que la constituyen pueden responder a naturalezas tanto concretas –es decir, corresponder a un elemento de la realiza- como ser igualmente abstracto.

Conjunto vacío

Teniendo presente la definición de Conjunto, será mucho más sencillo abordar la de Conjunto vacío, el cual es definido a su vez por el Álgebra de Conjuntos, como aquel objeto o conjunto en donde no puede encontrarse presencia de elemento alguno, es decir, que no tiene elementos, por lo que se le considera vacío. Así mismo, como el Conjunto se caracteriza por estar definido, única y exclusivamente por sus elementos, al asumir que el conjunto vacío no tiene ninguno se asume también que éste conjunto, el Conjunto Vacío es único, por lo que al nombrarlo se hace usando el artículo definido “el Conjunto Vacío”, y nunca como “un Conjunto Vacío.

Notación

Con respecto a la Notación que el Álgebra de Conjuntos concibe para el Conjunto Vacío, las distintas fuentes teóricas coinciden en señalar dos posibles. En primer lugar, y siendo la de más extendido uso, se encuentra el símbolo ∅ el cual se cree fue usado por primera vez, en el año 1939, por André Weil, quien lo tomó prestado de los caracteres propios de la lengua danesa. No obstante, algunos autores prefieren hacer uso de dos signos de llaves { } entre los cuales no se coloca más que un simple espacio, como forma de graficar que en el lugar en donde deberían estar los elementos que definieran el conjunto, en realidad no puede hallarse ningún elemento.

Propiedades del Conjunto vacío

No obstante, el no tener elementos no hace que el Conjunto Vacío esté exento de poseer, al igual que todo objeto o elemento matemático ciertas propiedades, entre las cuales se pueden encontrar las siguientes:

  • Como su propia definición lo indica, el Conjunto Vacío –siendo que todo conjunto se define por los elementos que el Conjunto Vacío no tiene- es único.
  • Al encontrarse dos o más Conjuntos sin elementos, se considera una relación de igualdad entre ellos.
  • Así mismo, la teoría matemática resalta el Conjunto Vacío tiene un subconjunto, el cual resulta ser el propio conjunto, realidad que puede ser expresada de la siguiente manera:

A ⊆ ∅ ↔  A = ∅

  • Igualmente, al no poseer elementos, se asume que el cardinal –es decir, el número de elementos- del conjunto vacío es igual a cero:

│∅│ = 0

  • De igual manera, al hablar del número de elementos que tiene el Conjunto Vacío, así como puede concluirse que su cardinal es igual a cero (0), se puede decir que en Conjunto Vacío es un Conjunto finito.

Papel del Conjunto Vacío en el Álgebra de Conjuntos

Por otro lado, las distintas fuentes teóricas coinciden también en señalar que el Conjunto Vacío cumple una función en las distintas operaciones concebidas entre los Conjuntos, en donde asume o toma el papel del cero en los diferentes procedimientos, que pueden encontrarse planteados por el Álgebra de Conjuntos. Así mismo, en cuanto a este rol del Conjunto Vacío se pueden desprender igualmente las siguientes propiedades o leyes matemáticas:

  • En todo conjunto A, se puede considerar al Conjunto Vacío como subconjunto del mismo conjunto A, lo cual puede ser expresado de la siguiente forma:

∅ ⊆ A

  • Igualmente se considera, que dado un conjunto A, en el momento que este objeto establezca una operación de Unión con el Conjunto Vacío, el resultado será el mismo conjunto A:

A ∪ ∅ = A

  • Así mismo, si se tiene un conjunto A, y éste establece una operación de Intersección con el Conjunto vacío, el resultado será el propio Conjunto sin elementos:

A ∩ ∅= ∅

  • De la misma manera, si considerado un conjunto A, se somete a una operación de producto cartesiano con el Conjunto Vacío, esta operación tendrá como resultado el propio Conjunto Vacío:

A x ∅ = ∅

Imagen: pixabay.com

Conjunto vacío
junio 21, 2017
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