Conjuntos especiales

Definición de conjunto

Por consiguiente, se puede comenzar por decir que las Matemáticas conciben al Conjunto como una colección abstracta de elementos, entre los que se puede identificar al menos un elemento en común, es decir, que son considerados como pertenecientes a una misma naturaleza, de ahí que sean entendidos también como una agrupación o colección. Por otra parte, esta disciplina ha señalado igualmente que el Conjunto cuenta con la característica principal de encontrarse conformado y definido, de forma única y exclusiva, por sus elementos.

Conjuntos especiales

Aun cuando básicamente un Conjunto es entendido como una colección abstracta de elementos que tienen rasgos comunes, la Teoría de Conjuntos concibe a algunos como Conjuntos especiales, debido a las características o naturaleza de los elementos que contiene. En este sentido, esta disciplina ha logrado conformar una categoría en la cual se puede contar cinco tipos distintos de conjuntos, cada uno de los cuales puede ser definido de la siguiente manera:

Conjunto Universal

En primer lugar, se encuentra dentro de los Conjuntos especiales, el Conjunto Universal, concebido entonces como la colección que contiene de forma plena y absoluta el universo de objetos de un contexto preciso. Por lo general, los elementos que lo constituyen son elegidos por el individuo, de forma deliberada, para cumplir con sus propósitos precisos, tomando al Conjunto Universal casi siempre como referencia, de ahí que a esta colección también se le conozca como Conjunto de referencia. La forma de expresar al Conjunto Universal será a través de la letra U. Un ejemplo de ello se hace evidente en las operaciones destinadas a hallar el complemento de un conjunto, definido a su vez como toda colección que contiene todos los elementos que no están en un conjunto, teniendo como referencia al Conjunto Universal. Por ende, para determinar el Conjunto complementario, el Álgebra de Conjuntos señala que se debe establecer una operación de Diferencia entre el Conjunto Universal y el Conjunto dado: A^∁ = U\A.

Conjunto vacío

Por otro lado, la Teoría de Conjuntos considera también como parte de los Conjuntos especiales al Conjunto vacío, el cual puede ser definido como aquella colección que se caracteriza por no poseer dentro de él ningún tipo de elemento, es decir, que –tal como su nombre lo indica- el Conjunto se encuentra vacío. Por lo general, este conjunto cumple las funciones de elemento neutro en algunas operaciones del Álgebra de Conjuntos. Se expresa a través del signo ∅ aun cuando existen corrientes que prefieren también el uso de dos llaves, entre las cuales no existe ningún elemento: { }. No obstante, la mayoría de autores se inclina por el uso del primer signo.

Conjuntos equivalentes

Así mismo, también dentro de la categoría de Conjuntos especiales se puede distinguir a los Conjuntos equivalentes, definidos como aquellas colecciones que coinciden entre sí, de acuerdo a su Cardinalidad, es decir, al número de elementos que tiene cada una de ellas, más allá de que estos elementos no coincidan en cuanto a su naturaleza o identidad. De esta manera, este tipo de conjunto también se diferencia de los Conjuntos iguales, en donde además de presentarse una coincidencia entre la Cardinalidad de estos, ambos conjuntos cuentan también con exactamente los mismos elementos. Un ejemplo de Conjuntos equivalentes podría ser entonces el siguiente:

A = {1, 2, 3, 4, 5} y B= {a, b, c, d, e}

Al analizarlos, se puede encontrar que cada uno de estos conjuntos presenta elementos distintos. Sin embargo, al analizar el número de elementos que existe en cada uno de ellos, es decir, su cardinalidad, se encontrará coincidencia:

A = {1, 2, 3, 4, 5}
│A│ = 5

B= {a, b, c, d, e}
│B│ = 5

Por ende, estas colecciones A y B son consideradas como Conjuntos equivalentes.

Conjuntos disjuntos

Otro de los tipos de conjuntos que entran dentro de la clasificación conocida como Conjuntos Especiales son los Conjuntos disjuntos, conocidos también como ajenos, y que cuentan con la particularidad de ser dos o más colecciones entre las cuales no se puede encontrar ningún elemento en común, es decir, dos conjuntos que cuentan con elementos totalmente diferentes. La forma matemática de determinar si dos conjuntos son disjuntos o no sería la de establecer entre ellos una operación de Intersección, destinada entonces a detectar los elementos comunes en ellos, operación esta que en el caso de los Conjuntos disjuntos debería dar siempre como resultado al Conjunto vacío. Un ejemplo de este tipo de conjuntos puede ser el siguiente:

A= {a, b, c, d, e, f} y B= {1, 2, 3, 4, 5}

A ∩ B= {a, b, c, d, e, f} ∩ {1, 2, 3, 4, 5}
A ∩ B= ∅

Subconjuntos

Por último, los subconjuntos serán entendidos como aquellas colecciones que pueden considerarse como parte de una mayor, es decir, que se encuentra comprendida en otro conjunto. La forma de expresar esta relación entre conjuntos será a través de la forma: A⊂B. Un ejemplo de subconjuntos puede ser el siguiente:

Dado un conjunto A, conformado por frutas cítricas: A= {Naranja, Limón, Mandarina}; y un conjunto B, compuesto por nombres de frutas en general B= {Manzana, Naranja, Limón, Mandarina, Níspero, Uva} determinar si se puede decir que A es un subconjunto de B.

A fin de cumplir con esta exigencia, se deberá establecer una operación de intersección entre A y B, de modo que si el resultado de A∩B coincide de forma plena con el conjunto A, entonces se podrá tomar como un hecho que se esta colección es subconjunto de B:

A= {Naranja, Limón, Mandarina}
B= {Manzana, Naranja, Limón, Mandarina, Níspero, Uva}

A ∩ B= {Naranja, Limón, Mandarina} ∩ {Manzana, Naranja, Limón, Mandarina, Níspero, Uva}

A ∩ B= {Naranja, Limón, Mandarina}

Dado el resultado, se concluye entonces que  A⊂B.

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