Conjuntos iguales

Definición de Conjunto

En este sentido, se puede comenzar a decir entonces que las Matemáticas definen en líneas generales al Conjunto como una agrupación de elementos, cuya principal característica es la de poseer al menos un rasgo en común, es decir, que pueden ser considerados como parte de la misma naturaleza, de ahí que se les considere entonces como una colección abstracta. Así mismo, esta disciplina ha señalado que el Conjunto cuenta con una característica principal: estar conformado y definido por sus elementos, los cuales cumplen con esta tarea de forma exclusiva y única.

Definición de Conjuntos iguales

Con respecto a los Conjuntos iguales, estos pueden ser concebidos como aquellas colecciones que cuentan exactamente con los mismos elementos. Así mismo, aun cuando los Conjuntos Iguales son contados como un tipo de conjuntos especiales, estos también son entendidos como el resultado de una relación de igualdad entre colecciones. De esta forma, los Conjuntos Iguales cuentan con el mismo número de objetos, así también como con la misma identidad de ellos.

Cómo determinar si dos Conjuntos son iguales

No obstante, aunque pareciera muy fácil el concluir si dos conjuntos pueden ser considerados iguales o no, quizás sea preciso aclarar cuáles son los procedimientos matemáticos adecuados para establecer esta relación de igualdad. Por consiguiente, quizás lo mejor sea exponer un ejemplo de la forma adecuada de determinar si dos conjuntos pueden ser llamados Conjuntos Iguales, tal como se ve a continuación:

Dado un conjunto A, en donde puedan contarse como elementos nombres de frutas: A= {Mandarina, Maracuyá, Melón, Melocotón, Mango} y un conjunto B, conformado por nombres de frutas que comiencen por la letra “m”: B= {Mandarina, Maracuyá, Melón, Melocotón, Mango} determinar si estos conjuntos pueden ser considerados como Conjuntos Iguales.

Aunque quizás pueda parecer obvio, al revisar sus elementos, que ambos conjuntos pueden ser considerados como iguales, será necesario cumplir con algunas operaciones que ayudarán a que no quepa la menor duda sobre esta condición. La primera de ellas, será determinar la Cardinalidad de ambas colecciones, pues lo primero en lo que deben coincidir dos conjuntos iguales es en el número de elementos:

Cardinalidad de A:

A= {Mandarina, Maracuyá, Melón, Melocotón, Mango}

│A│= 5

Cardinalidad de B:

B= {Mandarina, Maracuyá, Melón, Melocotón, Mango}

│B│= 5

Al comparar cada una de las cardinalidades, se obtendrá que estas coinciden entre sí:

│A│ = │B│
5 = 5

En segundo lugar será necesario también establecer si realmente todos los elementos de A pueden encontrarse en B, así también como que todos los elementos de B pueden encontrarse en A, es decir si A puede considerarse subconjunto de B, tanto como B puede considerarse de A:

A= {Mandarina, Maracuyá, Melón, Melocotón, Mango}
B= {Mandarina, Maracuyá, Melón, Melocotón, Mango}

Al hacerlo, se puede ver que en efecto A ⊆ B mientras que B⊆ A, conforme con esto se puede hablar entonces de que efectivamente A y B son conjuntos iguales:

A = B →  A ⊆ B  ˄ B⊆ A

Igualmente, otra forma de confirmar su A y B son conjuntos iguales puede ser someter ambas colecciones a una operación de Intersección, la cual dará como resultado un conjunto A ∩ B idéntico a cada uno de los dos conjuntos que han participado de la operación:

A= {Mandarina, Maracuyá, Melón, Melocotón, Mango}
B= {Mandarina, Maracuyá, Melón, Melocotón, Mango}

A ∩ B= {Mandarina, Maracuyá, Melón, Melocotón, Mango} ∩ {Mandarina, Maracuyá, Melón, Melocotón, Mango}
A ∩ B= {Mandarina, Maracuyá, Melón, Melocotón, Mango}

A = B = A ∩ B

Por otro lado una operación de diferencia entre ambos conjuntos A\B daría como resultado al Conjunto vacío, es decir, sería imposible crear una tercera colección que contuviera los elementos que estando en A no están en B, puesto que ambas colecciones poseen iguales elementos:

A= {Mandarina, Maracuyá, Melón, Melocotón, Mango}
B= {Mandarina, Maracuyá, Melón, Melocotón, Mango}

A\ B= {Mandarina, Maracuyá, Melón, Melocotón, Mango} \ {Mandarina, Maracuyá, Melón, Melocotón, Mango}

A\ B= ∅

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