Cubo de un binomio

Definiciones fundamentales

Por consiguiente, también podrá tomarse la decisión de delimitar esta revisión teórica a dos nociones específicas: Binomio y Productos notables, por encontrarse directamente relacionados con la regla matemática, que se estudiará posteriormente. A continuación, las siguientes definiciones:

Binomio

De acuerdo a lo que señalan las distintas fuentes, el Binomio puede ser entendido como una expresión algebraica en donde se suman o se restan dos monomios, es decir, dos términos algebraicos constituidos cada uno por la multiplicación de un elemento numérico por un elemento literal.

En consecuencia, el Binomio también puede ser definido como un polinomio de dos términos. A continuación, algunos ejemplos de binomios:

2x⁴ + y =

x² + z =

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3y³ + 2 =

Productos notables

En segunda instancia, también será necesario lanzar luces sobre el concepto de Productos notables, los cuales han sido explicados como un conjunto de reglas matemáticas, que tienen como objetivo la factorización, es decir, el procedimiento matemático por medio del cual se toma un polinomio, y se le convierte en producto.

Así también, los Productos notables tienen como objetivo proporcionar fórmulas matemáticas que permitan realizar operaciones de multiplicación de polinomios de forma directa, evitando así tener que multiplicar cada uno de los términos, lo cual a la larga ahorra tiempo y evita errores.

Cubo de un binomio

Toda vez se han revisado estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse a una explicación sobre el Cubo de un binomio, el cual puede ser explicado, de forma general, como uno de los principales tipos de Productos notables.

De forma mucho más precisa, el Cubo de un binomio es una regla matemática que señala que siempre que se quiera tomar un binomio y elevarlo al cubo, o multiplicarlo por el mismo tres veces, entonces el resultado será igual al cubo del primer término, más el triple del producto que se obtiene al multiplicar el cuadrado del primer término por el segundo término sin elevar al cuadrado, más el triple del producto que se obtiene al multiplicar el primer término sin elevar al cuadrado por el cuadrado del segundo término, más el cubo del segundo término. Esta regla matemática puede ser expresada entonces de la siguiente forma:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Ejemplo de Cubo de un binomio

Sin embargo, puede que la forma más idónea de cerrar una explicación sobre el producto notable Cubo de un binomio sea a través de la exposición de un ejemplo concreto, que permita ver cómo debe procederse según esta regla matemática. A continuación, el siguiente ejercicio:

(2x + 3y)³ =

Lo primero que se hace al aproximarse al ejercicio es revisar la naturaleza del producto. Al hacerlo, se obtiene que se trata entonces de un binomio que está elevado al cubo. Por ende, para solucionar la operación será necesario entonces aplicar el producto notable pertinente:

(2x + 3y)³ =  (2x)³ + 3.(2x²).(3y) + 3.(2x).(3y)² + (3y)³

Se resuelven las operaciones planteadas:

(2x)³ + 3.(2x)².(3y) + 3.(2x).(3y)² + (3y)³ = 8x³ + 3.(4x²).(3y) + 3. (2x). (9y²) + 27y³

8x³ + 3.(4x²).(3y) + 3. (2x). (9y²) + 27y³ = 8x³ + 36x²y + 54xy² + 27y³

Se ordena el polinomio obtenido:

8x³ + + 27y³ + 36x²y + 54xy² =

Se expresa entonces el resultado:

(2x + 3y)³ = 8x³ + + 27y³ + 36x²y + 54xy² =

Identidades de Cauchy

Así mismo, existe otra regla matemática, denominada Identidades de Cauchy, que plantea que para solucionar el cubo de un binomio, se puede asumir que el resultado de esta operación será siempre igual al cubo del primer término, más el cubo del segundo término, más el triple del producto del primer término y el segundo término por la suma de los valores del primer término y el segundo. Esta identidad puede ser expresada matemáticamente de la siguiente forma:

(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab.(a +b)

Por ejemplo, si se tomara el mismo binomio, y se quisiera resolver su elevación al cubo, por medio de las Identidades de Cauchy, se tendría entonces el siguiente resultado:

(2x + 3y)³ =

Se comienza por aplicar entonces la fórmula matemática, inherente a las Identidades de Cauchy:

(2x + 3y)³ = (2x)³ + (3y)³ + 3.(2x).(3y) . (2x + 3y)

Se busca entonces resolver las siguientes operaciones:

(2x)³ + (3y)³ + 3.(2x).(3y) . (2x + 3y) = 8x³ + 27y³ + 18xy . (2x + 3y)

8x³ + 27y³ + 18xy . (2x + 3y) = 8x³ + 27y³ +36x²y + 54xy²

Por último, se expresa el resultado:

(2x + 3y)³ = 8x³ + 27y³ +36x²y + 54xy²

Una vez se ha elevado este binomio al cubo, usando tanto lo que señala el producto notable, como lo que indica las Identidades de Cauchy, se obtiene en ambos casos el mismo resultado, por lo que se concluye que ambos casos o fórmulas son una manera directa de resolver toda operación que implique elevar un binomio al cubo.

Cubo de un binomio con resta

Por otro lado, si se diera el caso de que el binomio no planteara una suma de monomios sino una resta, entonces la operación deberá ser resuelta por medio del producto notable, y siempre será igual al cubo del primer término, menos el triple del producto entre el cuadrado del primer término por el segundo término, más el triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término. Esta fórmula matemática, se explica de la siguiente forma:

(a – b) = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

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