Descomposición de un triángulo rectángulo en dos

Quizás lo mejor, antes de abordar una explicación sobre la forma correcta en que debe producirse la Descomposición de un triángulo rectángulo en triángulos semejantes, sea revisar algunas palabras, que de seguro permitirán entender este procedimiento geométrico en su contexto apropiado.

Definiciones fundamentales

De esta manera, puede que lo más recomendable sea también enfocar esta revisión teórica a cinco nociones específicas: la primera de ella, la propia noción de Geometría, pues esto permitirá entender la naturaleza, en medio de la que ha surgido el procedimiento que se estudiará a continuación. Por igual, será necesario considerar los conceptos de Polígonos, Triángulos, Triángulos rectángulos y Altura del triángulo, por encontrarse directamente relacionados con la Descomposición del Triángulo rectángulo en triángulos semejantes. A continuación, los siguientes conceptos:

Geometría

En consecuencia, se comenzará por decir que la Geometría ha sido explicada como una disciplina matemática, cuyo principal objeto de estudio son las distintas formas o figuras, así como cada una de sus distintas propiedades (volumen, longitud, área, etc.). De igual forma, existen autores que definen la Geometría como la Ciencia de las medidas, concepto que quizás refiera más a los propios orígenes de esta disciplina.

Con respecto a esto, es decir, al origen histórico de la Geometría, existen teorías que señalan que la Geometría de hecho puede considerarse una de las disciplinas más antiguas en el seno de las Matemáticas. En este orden de ideas, quienes así se inclinan por pensar, señalan que así como el concepto de Números naturales pudo surgir directamente del concepto de cantidad, desarrollado por el hombre primitivo, en sus primeros intentos por administrar sus recursos, la Geometría pudo surgir de los intentos de estos primeros humanos por entender, medir, manipular o replicar las distintas formas y figuras de su entorno, a fin de lograr hacerse con armas y hábitats cada vez más eficientes, elementos cruciales para la sobrevivencia.

Polígonos

Así también, será necesario pasar revista sobre el concepto de Polígonos, los cuales han sido explicados de forma general, por las distintas fuentes, como las figuras geométricas planas o bidimensionales, es decir, que cuentan con una sola dimensión.

Por otro lado, los Polígonos también se distinguirán por encontrarse totalmente delimitados por segmentos de recta, condición que les proporcionará otra de sus principales características: tener todos sus lados rectos. De hecho, si existiese una figura geométrica plana y cerrada, pero que tuviera tan solo uno de sus lados curvos, entonces esta no podría ser considerada un polígono como tal.

Por igual, los Polígonos se distinguen por estar compuestos por cuatro distintos elementos, cada uno de los cuales puede ser definido a su vez de la siguiente manera:

  • Lados: constituidos por segmentos de recta, que delimitarán y conformarán al propio polígono. De hecho, es la cantidad de lados que tiene un polígono el elemento que se usa para designar su nombre.
  • Vértices: siendo una figura cerrada, los distintos lados del polígono se encuentran entre sí en puntos determinados. Estas confluencias se denominan vértices.
  • Ángulos: sin embargo, los lados que se encuentran entre sí no solo crean vértices, sino que también comienzan a delimitar un espacio geométrico específico, el cual se denominará ángulo, y contará a su vez con tres tipos de elementos: dos lados, constituidos por los segmentos de recta que lo delimitan, un vértice y una amplitud, la cual puede medirse en grados sexagesimales. Cada polígono tendrá tantos ángulos como vértices posea la figura.
  • Diagonales: por último, en los Polígonos también existirán diagonales, las cuales estarán conformadas por segmentos de recta que se extienden entre dos distintos vértices, los cuales deberán cumplir con el requisito de no encontrarse dispuestos de forma no contigua.

Triángulos

En tercer lugar, dentro de la Geometría también se encuentran los Triángulos, los cuales serán entendidos como polígonos, es decir, como figuras geométricas planas o bidimensionales, es decir, que cuentan tan solo con dos dimensiones, al tiempo que se encuentran totalmente delimitadas por tres segmentos de recta. Ergo, los Triángulos son polígonos de tres lados rectos. Sin embargo, estas no son las únicas características de los Triángulos, los cuales –polígonos al fin- también se caracterizarán por contar con cuatro elementos:

  • Tres lados: estarán constituidos por tres lados rectos. Así mismo, la diferencia o semejanza entre los lados que presentan los triángulos será el rasgo que tome en consideración la Geometría para clasificar estas figuras geométricas en Triángulos escalenos, Triángulos equiláteros y Triángulos isósceles.
  • Tres vértices: de igual forma, siendo una figura cerrada, los lados de los Triángulos se cerrarán o unirán en puntos específicos, conformando así los vértices del Triángulo. Cada una de estas figuras geométricas se distinguirá por tener tres triángulos.
  • Tres ángulos: por su parte, los Triángulos tendrá por cada vértice un ángulo, es decir, que tendrán tres ángulos. Estos serán concebidos como espacios geométricos delimitados por dos lados, y que cuentan con un vértice y una amplitud. Incluso, este último elemento, es decir, la amplitud del triángulo, también es tomado por la Geometría para hacer una clasificación de acuerdo a los tipos de Triángulos que existen según este criterio, y que serían los Triángulos rectángulos, Triángulos obtusángulos y Triángulos acutángulos.
  • Sin diagonales: por último, los Triángulos se caracterizarán por no contar con diagonales. Esto se debe a que para que en un polígono existan diagonales, estas deberán extenderse entre dos vértices no continuos, situación que no existe en el Triángulo, en donde todos los vértices se encuentran dispuestos de forma contigua.

Triángulos rectángulos

Por igual, será necesario lanzar luces sobre la definición de Triángulos rectángulos, los cuales han de ser explicados como aquellos polígonos o figuras geométricas bidimensionales y conformadas por tres lados, y en donde puede encontrarse un ángulo recto, o en otras palabras un espacio geométrico, delimitado por dos lados de esta figura, un vértice y una amplitud equivalente a noventa grados (90º).

Altura de un triángulo

Finalmente, también será necesario definir la Altura del triángulo, la cual será entendida como una de las rectas notables del triángulo, la cual ha sido definida como un segmento perpendicular, que parte desde cada uno de los vértices del triángulo hasta el lado opuesto.

Sin embargo, las alturas del triángulo también pueden estar conformadas por líneas rectas, las cuales se extenderán desde los vértices del Triángulo hasta los lados opuestos o sus prolongaciones, encontrándose en algún punto de su extensión, el cual es dominado ortocentro. No obstante, es la altura del triángulo como segmento perpendicular, el cual se toma en cuenta para calcular el área de esta figura geométrica.

Si por ejemplo, se quisieran trazar las alturas en segmentos del siguiente triángulo, se deberían llevar a cabo los pasos que se mencionan a continuación:

1.- Dado el triángulo ABC, y con el fin de trazar su primer altura en segmento, se tomará el vértice A, y se trazará un segmento perpendicular, que alcance un punto determinado del lado opuesto al vértice del cual surge la altura.

2.- Así mismo, se tomará el vértice B, y se buscará cuál es su lado opuesto, el cual entonces estará constituido por el lado CA. Sin embargo, como el lado no logra encontrarse con la altura que surge desde el vértice B, será necesario trazar la prolongación del lado CA. Por lo tanto, la altura que nace desde este vértice es perpendicular con la prolongación de este lado.

3.- Finalmente, se deberá trazar la altura del triángulo en segmento desde el vértice C. Para esto se determinará cuál es el lado opuesto a este vértice, el cual resultará ser el lado AB. Sin embargo, en este caso, la altura que nazca del vértice C no podrá ser perpendicular con este lado, sino que deberá serlo con su prolongación.

Se considera entonces que han sido trazadas las tres alturas del triángulo en formas de segmentos, si se quisiera trazar en forma de recta, entonces simplemente se deberán tazar segmentos, en lugar de rectas, que coincidan en el ortocentro.

Descomposición de un triángulo rectángulo en triángulos semejantes

Una vez se han revisado cada una de estas definiciones puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar una explicación sobre la forma correcta en que debe realizarse la Descomposición de un triángulo rectángulo en triángulos semejantes, procedimiento que se hará por medio del trazo de una altura del triángulo, y siguiendo los pasos que se mencionan a continuación:

1.- Suponiendo que se tenga el siguiente triángulo ABC,  y se desee dividirlo en dos triángulos rectángulos, lo primero que deberá hacerse es trazar una altura en segmento:

2.- Esto se hará trazando entonces un segmento perpendicular, desde el vértice A hasta el lado opuesto. Al hacerlo, el triángulo se divide en dos triángulos rectángulos, llamados así porque cada uno de ellos cuenta con un ángulo equivalente a noventa grados (90º).

3.- Así mismo, una vez se traza esta altura en el triángulo se puede determinar que los triángulos generados en la división, es decir ADB y ADC, más el triángulo original ABC, pueden ser considerados como triángulos semejantes, situación que se apoya en los siguientes hechos:

  • Los triángulos nuevos, creados del trazo de la altura serán considerados como triángulos ADB y ADC, los cuales serán semejantes entre sí por ser los dos triángulos rectángulos.
  • De igual forma, los triángulos ADB y ABC cuentan con ángulos agudos, por lo que se comprueba nuevamente la semejanza entre estos triángulos. Por su parte, los triángulos ADB y ADC también coinciden en la posesión de dos triángulos agudos.

Imágenes: 1.- pixabay.com / 2,3 y 4.- wikipedia.org

Descomposición de un triángulo rectángulo en dos
julio 31, 2018

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