Descomposición del trinomio de segundo grado en producto de factores

Previo a abordar una explicación sobre la forma correcta en que debe abordarse la Descomposición de trinomio de segundo grado en productos de factores, se revisarán algunas definiciones, que de seguro permitirán entender este procedimiento matemático dentro de su justo contexto.


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Definiciones fundamentales

En este sentido, puede que resulte prudente delimitar esta revisión teórica a cuatro nociones específicas: Monomios, Polinomios, Ecuaciones de segundo grado y Fórmula general para ecuaciones de segundo grado completas, por encontrarse directamente relacionados con el procedimiento que se estudiará posteriormente. A continuación, cada uno de estos conceptos:

Monomios

En primer lugar, se comenzará por decir que los Monomios han sido descritos por las distintas fuentes como una expresión matemática, conformada por la presencia de un elemento numérico y un elemento literal, entre los cuales sólo es posible una operación de multiplicación. Un ejemplo de este tipo de expresión sería la siguiente:

-3x2

Así mismo, las Matemáticas señalan que en los monomios pueden encontrarse cuatro distintos elementos:

  • Signo: elemento este que puede encontrarse en primer lugar, en toda lectura que se haga del monomio, de izquierda a derecha. Su tarea es señalar cuál es la naturaleza del monomio, es decir, si este es positivo o negativo.
  • Coeficiente: seguidamente, se encontrará el coeficiente, el cual se encuentra constituido por un elemento numérico.
  • Literal: así también, en el monomio se podrá encontrar el elemento literal, el cual cumple con la tarea de representar un valor específico, el cual deberá multiplicar al valor expresado por el coeficiente.
  • Grado: por último, en el monomio se podrá encontrar el Grado, el cual se encuentra conformado por el valor del exponente al cual se encuentra elevado el literal del monomio.

Polinomio

Por su parte, las Matemáticas también han promulgado su explicación sobre los Polinomios, los cuales son entendidos entonces como una suma finita, que tiene lugar entre monomios. Es decir, aun cuando entre el coeficiente y el literal del monomio sólo puede ocurrir una multiplicación formando esta expresión algebraica, los monomios sí pueden sumarse, restarse o dividirse con otros monomios, creando entonces polinomios.

2x2 + 6x + 8

En los polinomios se distinguirán los distintos monomios que conforman sus términos, así como el término independiente, conformado entonces por un coeficiente o elemento numérico, que no cuenta con la compañía de ningún elemento literal.

Ecuaciones de segundo grado

Otra de las definiciones que será importante tener en cuenta es la de Ecuaciones de segundo grado, las cuales han sido explicadas como aquellas igualdades literales, en donde ocurre que el elemento literal, por un lado representa la única solución que permite que la igualdad se cumpla, y por otro se encuentra inequívocamente elevada al cuadrado.

En el caso de que la ecuación cuente con varios literales, entonces el mayor exponente que puede encontrarse en ellos, para que la expresión sea considerada de segundo grado, será el cuadrado. A continuación, un ejemplo de este tipo de igualdad literal, en su forma reducida:

ax2 + bx + c = 0

Por otro lado, la disciplina matemática ha señalado que las Ecuaciones de segundo grado se encuentran compuestas por dos distintas clases de componentes, cada uno de los cuales han sido explicadas de la siguiente manera:

  • Elementos: en primer lugar, se encontrarán los elementos, categoría esta en donde se pueden distinguir dos diferentes subtipos: por una parte, están los coeficientes a, b y c, los cuales estarán constituidos siempre por elementos numéricos; por otra, se encontrará el elemento literal, el cual constituye la incógnita a ser despejada, y por tradición es representada por la letra x.
  • Término: así también, dentro de las ecuaciones de segundo grado pueden encontrarse tres distintos términos, los cuales han sido explicados de la siguiente forma:
  • ax2 → término cuadrático, responsable de expresar el grado de la ecuación.
  • bx → término lineal.
  • c → término independiente, caracterizado por ser un elemento numérico sin compañía de elemento literal.

Además, la presencia o ausencia de cada uno de estos términos, origina también dos distintos tipos de ecuaciones de segundo grado, descritos tal como se ve a continuación:

  • Ecuaciones de segundo grado completas: este tipo de ecuaciones se caracterizarán por contar con la presencia de sus tres diferentes términos, lo cual ocurre gracias a que los coeficientes de los tres diferentes términos son distintos a cero. A la luz de las expresiones algebraicas, las ecuaciones de segundo grado completas también podrían ser consideradas un trinomio de segundo grado, puesto que se constituye –bajo esta perspectiva- por la suma de dos monomios y un término independiente:

ax2 + bx + c = 0

  • Ecuaciones de segundo grado incompletas: por otro lado, también existirán las Ecuaciones de segundo grado en donde no exista presencia de todos sus términos. En este tipo de ecuaciones puede ocurrir entonces que el término lineal o el término independiente –o bien ambos- resultan nulos, debido a que cuentan con coeficientes diferentes a cero. No obstante, esta situación no puede pasar nunca en el término cuadrático, pues la ecuación ya no sería de segundo grado. Este tipo de ecuaciones tendrían entonces las siguientes expresiones, dependiendo de los términos nulos que presente:

ax2 + bx = 0
ax2 + c = 0
ax2 = 0

Fórmula general para ecuaciones de segundo grado

Por último, también será preciso señalar que las Matemáticas conciben dos distintas formas de solucionar ecuaciones de segundo grado completas. Por un lado, se plantea el método de la determinación del cuadrado perfecto equivalente a la ecuación; por otro, las Matemáticas también señalan que se puede aplicar la llamada fórmula general, la cual contará con la siguiente expresión:

Respecto a esta fórmula, es igualmente importante destacar que las Matemáticas denominan al radicando del radical, dispuesto en el campo superior, como Discriminante, atribuyéndole la capacidad de señalar de acuerdo a su naturaleza, es decir, si esta es positiva, negativa o nula, cuántas posibles soluciones tiene la ecuación de segundo grado, la cual de acuerdo a lo que señalan los distintos autores no puede presentar más de dos.

Descomposición del trinomio de segundo grado en producto de factores

Una vez se han revisado cada una de estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar una explicación sobre la forma correcta de lograr la Descomposición del trinomio de segundo grado –conocida también como ecuación de segundo grado completo– en producto de factores. En este sentido, las Matemáticas señalan que todo trinomio de segundo grado será igual al producto del coeficiente del término cuadrático por la resta del literal menos la primera solución del trinomio por la resta del literal menos la segunda solución que puede tener esta igualdad literal de segundo grado:

ax2 + bx + c = a . (x – x1) . (x – x2)

Por ende, toda vez que se presente un trinomio de segundo grado, y se quiera descomponer en el producto de sus factores, se procederá a seguir los pasos que se nombran a continuación:

  1. Asumir el trinomio de segundo grado como una ecuación de segundo grado completa.
  2. Aplicar la fórmula general para ecuaciones de segundo grado completas, a fin de encontrar las dos distintas soluciones que se pueden encontrar en este tipo de expresiones.
  3. Teniendo las dos soluciones, aplicar entonces la fórmula para la descomposición en producto de factores.

Imagen: pixabay.com

Descomposición del trinomio de segundo grado en producto de factores
febrero 23, 2019
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