Diferencia de cubos (Productos notables)

Entre los diferentes casos de factorización que existen, se encuentra la Diferencia de cubos, el cual plantea la posibilidad de descomponer en factores, de forma directa, todo binomio cuyos términos se encuentren elevados al cubo, al tiempo que sostienen una resta entre ellos.


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Sin embargo, previo a abordar una explicación sobre esta clase de producto notable, se revisarán algunas definiciones, que de seguro permitirán entender este proceso de factorización de polinomios, en su propio contexto matemático.

Definiciones fundamentales

Así mismo, se tomará la decisión de delimitar esta revisión teórica a tres nociones específicas: Monomios, Binomios y Productos notables, por encontrarse directamente relacionados a la regla matemática, que se estudiará posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:

Los monomios

De esta manera, podrá comenzarse por decir que los Monomios han sido explicados entonces como un término algebraico, constituido por un elemento numérico y un elemento literal, entre los que sólo puede existir una operación de multiplicación, siendo este procedimiento el único permitido entre ellos.

Igualmente, la disciplina matemática indica que los monomios están conformados por cuatro elementos, cada uno de los cuales ha sido explicado de la siguiente forma:

  • Signo: en primer lugar, en toda lectura que ocurra de izquierda a derecha, se encuentra el Signo, cuya misión es señalar si el monomio o término algebraico es de naturaleza positiva o negativa.
  • Coeficiente: por otro lado, también será necesario explicar que el coeficiente es señalado como un elemento numérico, cuya misión será indicar cuál es la cantidad específica por la que debe multiplicarse el elemento literal, siempre que asuma un valor determinado.
  • Literal: así también, en el Monomio, se encuentra el elemento literal, conformado por una letra, cuya tarea es asumir valores específicos, en momentos determinados.
  • Grado: por último, dentro del Monomio, también existe el Grado, el cual ha sido explicado entonces como el exponente al cual se encuentra elevado el elemento literal. La función de este elemento es indicar cuál es el lugar del monomio dentro del polinomio.

Binomio

Otro de los conceptos que deben tenerse en cuenta es el de Binomio. Este es explicado entonces como una expresión algebraica, constituida por la suma o la resta que se presenta entre dos monomios o términos algebraicos. Ergo, el Binomio es un polinomio de dos términos. A continuación, algunos ejemplos que pueden encontrarse en base a esta expresión:

2x + y =
a2 + b =
3y3 + z =

Productos notables

Por otro lado, los Productos notables han sido explicados, por las Matemáticas, como el conjunto de reglas o fórmulas matemática, orientadas a la factorización, es decir, al proceso que lleva a expresar un polinomio como un producto, o lo que es igual descomponerlo en factores.

Según señalan las distintas fuentes, los Productos notables permiten la realización de las operaciones de multiplicación entre polinomios de una forma directa, lo cual entonces logra ahorrar tiempo, así como reducir la posibilidad de cometer errores, ya que no se debe procesar monomio por monomio.

Diferencia de cubos

Toda vez se han revisado estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar una explicación sobre la Diferencia de cubos, los cuales puede ser señalados, de forma general, como uno de los distintos casos de factorización, que existen en base a los binomios.

De forma mucho más específica, el Álgebra señala que siempre que se tenga una Diferencia de cubos, o al menos un binomio que al ser descompuesto en factores se exprese como tal, el resultado o factorización de esta expresión resultará siempre igual al producto entre la resta de los términos por el cuadrado perfecto, es decir, por el cuadrado del primer término, más el producto de los términos, más el cuadrado del segundo término. Esta fórmula puede ser expresada matemáticamente de la siguiente manera:

(a3 – b3)  = (a – b) . (a2 + ab + b2)

Ejemplo sobre Diferencia de cubos

Sin embargo, puede que la forma más eficiente de completar una explicación sobre la manera de descomponer o factorizar una diferencia de cubos, sea a través de la exposición de un ejemplo concreto. A continuación, el siguiente ejercicio:

x6 – 27 =

Antes este ejercicio, lo primero que se hace es revisar sus elementos, llegando a la conclusión de que efectivamente pueden ser descompuestos, y expresados como cubos. Para realizar esto, se comienza entonces por descomponer cada uno de los elementos:

x6 = (x2)3
27 = 33

Así mismo, se procede a expresar el binomio, pero ahora como una Diferencia de cubos:

(x2)3 – 33 =

Con el fin de factorizar esta operación, se procede igualmente a aplicar la fórmula para la Diferencia de cubos, es decir, que la factorización se llevará a cabo multiplicando la resta de los términos por su cuadrado perfecto, o dicho en otras palabras por el cuadrado del primer término, más el producto de los términos, más el cuadrado del segundo término. Para esto, se aplica a la diferencia de cubos obtenida la fórmula pertinente:

(a3 – b3)  = (a – b) . (a2 + ab + b2)

(x2)3 – 33 = (x2 – 3) . [ (x2)2 + x2 . 3 + 32]

Se procede entonces a resolver las multiplicaciones y potencias expresadas:

(x2 – 3) . [ (x2)2 + x2 . 3 + 32] = (x2 – 3) . (x4 + 3x2 + 9)

Imagen: pixabay.com

Diferencia de cubos (Productos notables)
septiembre 11, 2019
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