División de polinomios

Definición de polinomio

En este sentido, de acuerdo a lo que señalan las distintas fuentes teóricas, el Polinomio puede ser definido como una suma finita de monomios, cuya característica indispensable para que la expresión algebraica sea considerada un polinomio es que las variables cuenten con variables cuyos grados estén constituidos por números enteros positivos. Así mismo, aunque se podría decir que un polinomio está conformado por los monomios que establecen la suma entre ellos, la teoría también indica la existencia de cuatro elementos fundamentales, los cuales cuentan con su propia definición y función dentro de esta expresión, tal como puede verse en la gráfica y los conceptos que se exponen a continuación:

• Términos: cada uno de los sumandos del polinomio, es decir, monomios y términos independientes.
• Coeficientes: nombre con el que se signan los elementos numéricos que acompañan a las variables, multiplicándolas.
• Términos independientes: aquellos elementos numéricos en donde no puede distinguirse la presencia de variables.
• Grado: elemento constituido por el máximo grado determinado en los monomios que conforman el polinomio, y cuya función específica puede ser entendida como servir de elemento guía para procurar la clasificación del polinomio según su grado, o un ordenamiento dentro del polinomio.

División de polinomios

Por otro lado, entre las distintas operaciones que se pueden realizar entre los polinomios, se encuentra la División de polinomios, operación que se basa en encontrar el cociente de dos polinomios, a través de la división del primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor, obteniendo un resultado que se multiplicará por el divisor, dando un resultado en base al cual se repetirá nuevamente el procedimiento tantas veces como sea necesario hasta que el resto sea un grado inferior al grado del polinomio que sirve de divisor, momento en el cual se considera que no puede seguir la operación.

Ejemplo de División de polinomios

Sin embargo, puede que resulte mucho más práctico el colocar un ejemplo de este tipo de operación, a fin de que se pueda tener una idea clara de los pasos que deben seguirse para su resolución. A continuación, un ejemplo de esto:

Dados la siguiente operación:

P_(x)= 2x² – 4x⁵ – 5x + 4
Q_(x)= x² – 4x³ – 3

P_(x):Q_(x)=

Se deberá ordenar cada uno de los polinomios, antes de organizarlos para desarrollar una operación:

P_(x)= – 4x⁵+ 2x²– 5x + 4
Q_(x)= x²  – 4x³ – 3

Se colocarán dispuestas entonces, a fin de que cada uno de los polinomios ejerza su función de dividendo y de divisor:

      – 4x⁵+2x²-5x + 4  :   x² – 4x³ – 3

Se toma el primer monomio del dividendo, y se divide entre el primer monomio del divisor

-4x⁵ : x² = -4x^5-2 = -4x³

Este resultado, se anotará debajo del divisor, por el cual además se multiplicará, colocando el resultado consecuente debajo entonces del dividendo, a fin de restarlo, respetando en todo momento los grados obtenidos, y dejando espacios en blanco, de ser un polinomio incompleto:

-4x³.(x²–4x–3)=-4x⁵+16x⁴+12x³→-(-4x⁵ +16x⁴+12x³)= 4x⁵-16x⁴-12x³

                       

Obtenido este resultado, se debe entonces tomar nuevamente el primer monomio para dividirlo entre el primer monomio del divisor:

-16x⁴ : x² = -16x²

Igualmente, ese resultado se multiplicará por el divisor, anotando el resultado debajo del obtenido en la operación anterior:

16x².(x²-4x-3)=-16x⁴+64x³+48x²→-(-16x⁴+64x³+48x²)→ 16x⁴-64x³-48x²

Nuevamente, se tomará el primer monomio del término, para dividirlo entre el primer monomio del divisor, y el resultado multiplicarlo por cada uno de los miembros del divisor:

-76x³😡²= -76x
-76x.(x²–4x–3)= -76x³+304x²+228x→ -(-76x³+304x²+228x)→ 76x³-304x²-228x

Al obtener un resultado de grado menor al divisor, se asume que ya no se puede continuar con la división, por lo que esta ha terminado, siendo entonces sus resultados, los siguientes:

Cociente: -4x³-16x²-76x
          Resto:   -350x²–233x+4

Imagen: flickr.com