División de raíces de distinto índice

Es probable que lo más conveniente, antes de avanzar sobre la definición misma de División de radicales de distinto índice, sea revisar de forma breve algunos conceptos que permitirán entender la naturaleza de esta operación en su contexto preciso.


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Definiciones fundamentales

En consecuencia, dicha revisión puede delimitarse a dos conceptos básicos: en primer lugar se puede llamar la atención sobre la definición de Radicación, pues esto permitirá tener conciencia sobre la expresión matemática en base a la cual se establece la operación. Por otro lado será imprescindible también reparar en cada uno de los elementos que componen la raíz. A continuación, cada uno de estas definiciones:

La radicación

Para empezar, se dirá entonces que las Matemáticas han convenido definir la Radicación como una operación que se establece entre dos números, los cuales se darán a la tarea de encontrar un número preciso, que cumpla con la tarea de que al elevarse a la cantidad que señala uno de estos números, dé como resultado el otro número involucrado.

Así también, algunos autores han afirmado que la Radicación puede entenderse como una operación inversa a la Potenciación, en donde en lugar de tratar de determinar la potencia, se trata de averiguar cuál es la base de la operación, conociendo el exponente y la potencia. Por otro lado, hay también quien afirma que incluso la Radicación podría ser entendida como otra forma de expresar la Potenciación.

Elementos de la Radicación

Igualmente será necesario pasar revista sobre cada uno de los elementos que constituyen la operación de Radicación, y que de forma común las distintas fuentes identifican como tres, dando las siguientes explicaciones sobre cada uno de ellos:

  • Índice: en primer lugar, el índice será identificado como uno de los dos números sobre los cuales se estable la operación de Radicación. Se le atribuye la función de indicarle a la raíz cuál debe ser el exponente al que debe elevarse la Raíz a fin de dar como resultado el Radicando.
  • Radicando: por su parte, este elemento será el segundo número que interviene en la operación. Su tarea es señalarle a la raíz cuál debe ser el producto de la multiplicación que hará esta por sí misma, la cantidad de veces que le dicte el Índice.
  • Raíz: en tercer lugar, la Raíz seré entendida como el resultado de la operación, es decir, que será el número que cuente con la propiedad de que al ser elevado al índice, dé como resultado el Radicando.

División de raíces de diferente índice

Teniendo presente estas definiciones, tal vez ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse a la noción de División de raíces de diferente índice, operación que es entendida como el procedimiento por el cual dos radicales que presenten índices, equivalentes a distintos números, se dividen entre sí.

No obstante, es necesario señalar que esta operación originalmente es imposible, por lo que se deben emprender una serie de pasos que permitan hacer que ambos radicales cuenten finalmente con el mismo índice, pues de lo contrario no se podrá llevar a cabo la operación.

Pasos para Dividir raíces de diferentes índices

De esta manera, las Matemáticas también han señalado cuál debe ser la forma adecuada de resolver una operación en donde se pretenda dividir dos radicales que cuenten con distintos índices, y que básicamente podrán ser descritos de la siguiente manera:

  • En primer lugar, una vez comprobado que en efecto se trata de radicales de diferentes índices, se deberá proceder a hallar el mínimo común múltiplo de los dos números que conforman respectivamente los índices de los radicales que se quieren multiplicar.
  • Así mismo, se deberá proceder, en base a este común múltiplo, hallar cuál es el número por el que debe multiplicarse cada índice para obtener ese mínimo común múltiplo.
  • Hallado ese número, se deberán multiplicar por él tanto los índices como los exponentes de los radicandos que se encuentren en la operación.
  • Esta multiplicación, debería arrojar un índice común. De ahí en adelante, la división se llevará a cabo como una División de raíces de igual índice, para lo cual será necesario dividir los radicandos.
  • Por último, se sacarán de la raíz los elementos que se puedan, y dado el caso se multiplicarán por los cocientes.

Ejemplo de cómo dividir raíces de diferentes índices

No obstante, puede que la forma más acertada de explicar cómo resolver una división entre raíces de diferente índice sea a través de la exposición de un ejemplo concreto, en donde se pueda ver de forma precisa cómo se cumplen cada uno de los pasos que conlleva resolver una División de raíces de diferentes índices, tal como se muestra seguidamente:

Resolver la siguiente división de radicales:

De esta forma, lo primer que deberá hacerse es comprobar que efectivamente los dos radicales cuentan con índices distintos. Hecho esto, nace entonces la necesidad de hallar el mínimo común múltiplo de ambos:

Encontrado el índice de estos números, se deberá calcular entonces cuál es el número que se necesita para que al multiplicar cada índice, dé como resultado 6:

 

Sin embargo, llegado este punto será necesario expresar el primer radicando de forma distinta, para hacerlo coincidir igualmente con el radicando que se encuentra en el denominador:

Se procede a multiplicar el número que se ha determinado en cada radical, para conseguir el índice igual a 6, tanto por el índice como por los exponentes de cada radicando:

En este punto, se tienen dos radicales de igual índice, por lo que pare resolver la división se podrá comenzar por reescribirla:

Se restan entonces los exponentes de cada radicando, para dejar expresado uno solo:

Se interpreta el radical obtenido como el resultado final de la operación:

Imagen: pixabay.com

División de raíces de distinto índice
noviembre 20, 2017

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