Dominio y Rango en las Relaciones binarias

Tal vez lo mejor, antes de avanzar sobre la definición y demás ejemplos del Dominio y Rango de una relación algebraica, sea revisar de forma breve algunas definiciones, necesarias para entender cada uno de estos conceptos en su contexto teórico apropiado.


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Definiciones fundamentales

Por consiguiente, quizás lo mejor sea tomar en cuenta la definición de Conjunto, así también como la de Relaciones algebraicas y Relaciones algebraicas binarias, puesto que estos conceptos se encuentran estrechamente relacionados con los conceptos de Dominio y Rango, así como con la forma de determinar cada uno de ellos. A continuación, estas definiciones:

Conjunto

De esta manera, se puede comenzar por decir que el Conjunto es visto por la Teoría de Conjuntos como un objeto matemático, conformado por una agrupación de elementos, entre los cuales se identifican al menos un rasgo en común, de ahí que sean entendidos como parte de una misma naturaleza, así también como una colección abstracta de elementos comunes, definición esta que es también aplicable al propio conjunto. Por otro lado, las Matemáticas también han indicado que los elementos del conjunto cuentan con la propiedad de definir y constituir al conjunto, siendo los únicos con la capacidad de hacerlo. Con respecto a su representación, el conjunto puede ser expresado colocando todos sus elementos entre signos de llaves: A= {2, 4, 6, 8, 10} o a través de un dibujo, en donde se incluyan todos y cada uno de sus elementos dentro de un área ovalada o circular, que represente los límites del conjunto.

Relaciones algebraicas

En cuanto a las Relaciones algebraicas, estas han sido explicadas por las Matemáticas como toda relación en donde un elemento de un primer conjunto establece una relación matemática con otro elemento de un segundo conjunto. Esto a su vez, según explica esta disciplina, hace que la relación establecida entre estos elementos surja a su vez como un subconjunto del producto cartesiano establecido entre los conjuntos a los cuales pertenecen cada uno de ellos.

Relaciones algebraicas binarias

Entre los distintos tipos de Relaciones algebraicas, las de tipo binario estará conformado por las relaciones que pueden establecer algunos elementos de un conjunto primero y los elementos de un conjunto segundo, dando como resultado una serie de subconjuntos del producto cartesiano de los conjuntos a los que hacen parte: A R B → R ⊂ A x B.

Dominio y Rango, relaciones algebraicas binarias

Teniendo presente estas definiciones, quizás sí sea mucho más sencillo aproximarse a las definiciones de Dominio y Rango. En este sentido, si se toma en cuenta el concepto de Relación algebraica binaria se verá que este se encuentra basado en la relación de los elementos de un primer conjunto con los elementos de un segundo conjunto, siendo cada uno de ellos, respectivamente el Dominio y el Rango. De esta manera, el Dominio estará constituido por cada uno de los elementos del primer conjunto, mientras que el Rango lo será por cada uno de los elementos del segundo conjunto con los que los elementos del Dominio hayan establecido relación. Así mismo, a la hora de exponer los pares o relaciones binarias entre conjuntos, el Dominio estará conformado por todos los primeros elementos de dichos pares, mientras que el Rango lo estará por el segundo elemento de estas relaciones binarias.

Ejemplos de Dominio y Rango, relaciones binarias

Sin embargo, quizás la forma más eficiente de explicar los conceptos de Dominio y Rango, en las Relaciones Binarias, sea a través de la exposición de ejemplos concretos, tal como se muestra a continuación:

Ejemplo 1

Suponiendo los siguientes conjuntos, determinar cuál es su dominio y cuál su rango:

Para hacerlo, será necesario expresar los distintos pares que surgen en base a la Relación entre A y B:

R = {(2,1); (4,5); (6,3); (8,7)}

Hecho esto, se determinará respectivamente entonces el Dominio y el Rango de estas relaciones binarias:

dom(R): {2, 4, 6, 8}
rang(R): {1,5,3,7}

Ejemplo 2

Dado los siguientes conjuntos, determinar cuál es el Dominio:

Suponiendo los siguientes conjuntos, determinar cuál es su dominio y cuál su rango:

Para hacerlo, se deberá tomar en cuenta igualmente la Relación o relaciones binarias que se establecen entre estos conjuntos:

R= {(A,1); (B,5); (D,7)}

Al hacerlo, puede observarse que para que existan relaciones binarias no todos los elementos de los conjuntos deben establecer relaciones entre ellos. En cuanto al Dominio de estos conjuntos, se tendrá entonces que está conformado por los primeros elementos de los pares o relaciones binarias establecidos entre las colecciones:

dom(R): {A, B, D}

Ejemplo 3

Dados los siguientes conjuntos, determinar el Rango de las relaciones binarias entre ellas:

También se puede dar el caso de que un elemento del Dominio, se encuentre relacionado más de una vez, estableciendo relaciones entonces con al menos dos elementos del Rango. En este caso, como en todos los de su tipo, para poder establecer cuál es el Rango, se deberá comenzar por expresar la Relación que ha surgido entre estas dos colecciones:

R= {(1,2); (3,10); (3,12)}

En el caso del Rango, este se encontrará constituido por todos los elementos que forman parte del segundo elemento de las relaciones binarias  o pares contemplados en la Relación:

rang(R): {2, 10, 12}

Imagen: educacion.elpensante.com

Dominio y Rango en las Relaciones binarias
septiembre 5, 2017
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