Ecuaciones bicuadradas

Definiciones fundamentales

Por consiguiente, se optará igualmente por delimitar esta revisión teórica a tres nociones fundamentales: Igualdades, Ecuaciones y Ecuaciones superiores a segundo grado, por encontrarse directamente relacionadas con las ecuaciones que se estudiarán posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:

Igualdades

De esta forma, podrá verse cómo las Matemáticas definen las Igualdades como la relación que se establece entre dos elementos o términos, que resultan iguales en cuanto a sus valores totales. Así mismo, los distintos autores señalan que el signo usado para expresar esta relación es el signo igual (=).

Por otro lado, las Matemáticas señalan que en las Igualdades pueden encontrarse dos distintos términos, explicados de la siguiente forma:

• Primer término: constituido por el elemento o los elementos que se sitúan de forma anterior al signo igual.
• Segundo término: por su parte, el segundo término de la igualdad estará conformado por los elementos que se ubican después del signo que se emplea para expresar esta relación matemática.

De igual manera, los diferentes autores han señalado que se pueden distinguir dos diferentes tipos de igualdades:

• Igualdad numérica: establecida entre elementos estrictamente numéricos.
• Igualdad literal: con respecto a la igualdad literal, esta se establece entre dos términos, conformados por términos en donde se distinguen tanto términos numéricos como literales.

Ecuaciones

Así también se lanzarán luces sobre el concepto de Ecuaciones, las cuales han sido explicadas como igualdades literales, en donde el elemento literal constituye una incógnita a despejar, con tan sólo una posibilidad de solución. Un ejemplo de Ecuaciones podría ser el siguiente:

Suponiendo que se tenga el siguiente ejercicio: x + 5 = 9

Se podrá optar por sustituir el valor de x por distintas cantidades, a fin de comprobar si esta incógnita cuenta tan sólo con una posible solución, o si por el contrario puede tener varias soluciones posibles.

3 + 5 = 9 → 8 ≠ 9
2 + 5 = 9 → 7 ≠ 9
5 + 5 = 9 → 10 ≠ 9
4 + 5 = 9 → 9 = 9

Al hacerlo, se encuentra entonces que la igualdad literal sólo es posible cuando x resulta igual a 4. Por ende, teniendo sólo una posible solución, la expresión es considerada una Ecuación. Si por el contrario, la igualdad literal pudiese cumplirse con cualquier valor para x, la expresión constituiría una Identidad.

Ecuaciones de grado superior a dos

Por último, será necesario revisar el concepto de Ecuaciones de grado superior a dos, las cuales básicamente han sido explicadas como aquellas igualdades literales, en las que el elemento literal constituye una incógnita a despejar, con una sola solución posible, y se encuentra elevado a exponentes superiores a dos.

En el caso de que en la igualdad literal se presentarán varios elementos literales, el exponente de mayor valor resultaría superior al cuadrado. Un ejemplo de la forma reducida que podría tener una de estas expresiones sería el siguiente:

ax³+ bx² + cx + d = 0

De igual forma, las Matemáticas han señalado que las Ecuaciones de grado superior a dos pueden considerarse compuestas por dos distintos tipos de componentes:

• Elementos: en esta categoría podrán encontrarse dos subclases: los elementos numéricos, constituidos por los coeficientes a, b c, d, etc.; así mismo, en los elementos se contará la incógnita, representada por lo general por la letra x.
• Términos: así mismo, en las ecuaciones de grado superior a dos podrán distinguirse los términos, conformados por cada uno de los términos algebraicos que se suman o restan entre sí. Básicamente, se pueden distinguir entre los términos algebraicos y los términos independientes. La presencia o ausencia de estos términos originará también que las ecuaciones se clasifiquen entre ecuaciones completas y ecuaciones incompletas.

Por lo general, con el fin de procurar soluciones mucho más sencillas, las Ecuaciones de grado superior a dos pueden ser reducidas a Ecuaciones de segundo grado, resolviéndose entonces por los distintos métodos concebidos para este tipo de igualdades literales.

Ecuaciones bicuadradas

Una vez se han revisado cada una de estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar una explicación sobre las Ecuaciones bicuadradas, las cuales han de ser explicadas como aquellas ecuaciones donde el exponente de mayor valor es 4, pero en donde además la ecuación carece de términos de grado impar (3 o 1). A continuación, un ejemplo de la forma con la que cuentan las ecuaciones bicuadradas:

ax⁴ + bx² + c = 0

Con respecto a la forma en que deben ser solucionadas este tipo de ecuaciones, las distintas fuentes matemáticas señalan que básicamente se debe lograr llevar la ecuación cuadrática a una ecuación de segundo grado, y a partir de este momento aplicar el método correspondiente. Para esto, deberán seguirse los pasos que se encuentran a continuación:

1.- Dada una ecuación cuadrática, se buscará expresar el primer término como un término cuadrático, lo cual puede lograrse de la siguiente forma:

2.- Hecho esto, se puede emplear también el método de las sustituciones, con el fin de convertir la ecuación cuadrática en una ecuación de segundo grado. Pensando en esto, se puede asumir entonces lo siguiente:

x² = z → x⁴ = z²

 Por ende, luego de hacer esta sustitución, se puede llevar la ecuación cuadrática a una ecuación de segundo grado:

3.- Teniendo esta ecuación de segundo grado, se procede a aplicar la fórmula general, obteniendo dos posibles soluciones Z₁ y Z₂ las cuales originarán a su vez cuatro posibles soluciones X₁, X₂, X₃ y X₄. Esta situación puede expresarse de la siguiente forma:

Es importante señalar que si en la Ecuación bicuadrada las soluciones Z₁ y Z₂ son números positivos, entonces la igualdad literal puede tener cuatro distintas soluciones.

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