Ecuaciones con denominadores

Previo a abordar una explicación sobre las Ecuaciones de primer grado con denominadores, tomaremos en cuenta algunas definiciones, que de seguro permitirán entender este tipo de igualdad literal dentro de su justo contexto.


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Definiciones fundamentales

Por consiguiente, puede que también sea recomendable delimitar esta revisión teórica a tres nociones específicas: Igualdades, Ecuaciones y Ecuaciones de primer grado, por encontrarse directamente relacionadas con el procedimiento matemático, que se estudiará posteriormente. A continuación, cada una de estos conceptos:

Igualdades

De esta manera, se comenzará por decir que las Matemáticas han explicado las Igualdades como aquellas relaciones matemáticas, que se establecen entre dos o más elementos o términos, que se pueden considerar iguales. Así también, la disciplina matemática ha señalado que el signo que sirve para expresar esta relación es el signo igual (=).

Además, en las igualdades pueden hablarse de dos distintos términos o miembros, explicados a su vez de la siguiente forma:

  • Primer término: se entiende por el primer término de la Igualdad al elemento o conjunto de elementos que se ubican de forma anterior al signo igual (=).
  • Segundo término: por otro lado, el segundo término de la igualdad se encontrará conformado por los elementos o conjuntos de elementos que se disponen después del signo igual (=).

Igualmente, los diferentes autores han señalado que pueden tenerse en cuenta dos distintos tipos de igualdades:

  • Igualdades numéricas: las cuales se caracterizan porque todos sus elementos son números.
  • Igualdades literales: por su parte, las Igualdades literales serán aquellas que en sus términos, además de contener elementos abstractos numéricos, se encuentran también elementos abstractos literales.

Ecuaciones

En segunda instancia, será también de provecho tomar un momento para revisar el concepto de Ecuaciones, las cuales han sido explicadas por las distintas fuentes como aquellas igualdades literales, en donde se cumple que el elemento literal de ellas solo tiene la posibilidad de corresponder o asumir un valor específico, a fin de que la igualdad expresada se mantenga.

Un ejemplo de este tipo de igualdades literales puede verse en la siguiente expresión:

x – 4 = 10

Si se asumiera la tarea de hacer que la x asumiera distintos valores, a fin de ver si puede con todos ellos cumplir con la igualdad, o si por el contrario tan solo puede asumir uno para que se cumpla la relación, se tendría entonces lo siguiente:

1 – 4 = 10 → -3 ≠ 10
4 – 4 = 10 → 0 ≠ 10
6 – 4 = 10 → 2 ≠ 10
14 – 4 = 10 → 10 = 10

Al hacerlo, se podrá observar cómo esta igualdad literal se cumple tan sólo cuando x resulta igual a 10. Por ende, siendo solo posible un valor para x, la igualdad literal se considera una Ecuación.

Ecuaciones de primer grado

Por último, también será necesario tomar un momento para señalar cuál es la definición de Ecuaciones de primer grado, las cuales han sido explicadas –de forma general- como aquellas igualdades literales, en donde ocurre que además de que el elemento literal sólo puede asumir un valor, este se encuentra elevado a un exponente igual a la unidad.

Si se diera el caso de que la ecuación de primer grado cuenta con varios literales, pues todos ellos deberán estar elevados a la unidad. Por convención, los elementos elevados a este exponente no cuentan con exponente que aparezca de forma explícita, sino que se da por sobreentendido.

Resolución de ecuaciones con denominadores

Una vez se han revisado cada una de estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse a una explicación sobre la forma correcta de resolver cualquier tipo de ecuación de primer grado, en donde exista presencia de denominadores. En este sentido, las Matemáticas han señalado que siempre que se esté ante este tipo de operaciones, lo mejor será cumplir cada uno de los siguientes casos:

  1. Se calcula el mínimo común múltiplo de los dos denominadores.
  2. Se multiplican cada uno de los términos de la igualdad literal por el mínimo común múltiplo de los denominadores.
  3. Se busca entonces aislar la x, trasponiendo los términos, y dejando todos aquellos relacionados con la x de forma anterior al signo igual (=) mientras que todos aquellos que son simplemente numéricos deben entonces disponerse después del signo que expresa la igualdad.
  4. Se determina entonces el valor verdadero de x, resolviendo las operaciones específicas.
  5. Se comprueba que la operación haya sido correctamente despejada, considerándose finalizada la operación.

Ejemplo

Sin embargo, puede que la forma más idónea de completar una explicación sobre la forma correcta de resolver toda ecuación que cuente en su composición con fracciones sea a través de la exposición de un ejemplo específico, tal como el que se muestra a continuación:

Resolver la siguiente ecuación:

Se determina primero entonces el mínimo común múltiplo de los denominadores:

m.c.m = 22 . 3 = 12

 

Se procede entonces a multiplicar cada uno de los elementos de la ecuación por este m.c.m:

Comprobación:

Al sustituir entonces la x por el valor determinado para ella, se obtiene que la igualdad se cumple totalmente. En caso de que la x pudiera asumir cualquier valor, entonces sería una Identidad. Por ende, se considera resuelta entonces de forma correcta la operación.

Imagen: pixabay.com

Ecuaciones con denominadores
enero 8, 2019
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