Ecuaciones de grado superior a dos

Definiciones fundamentales

Por consiguiente, se decidirá igualmente enfocar esta revisión en cuatro nociones específicas: monomios, polinomios, ecuaciones y ecuaciones de segundo grado, por encontrarse directamente relacionados con las clases de igualdades literales, que se estudiarán posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:

Monomios

De esta forma, se comenzará por decir que los Monomios han sido explicados como una expresión algebraica en donde un elemento numérico establece una operación de multiplicación con un elemento literal, siendo esta la única operación posible entre ellos, es decir, que no puede presentarse ni operaciones de suma, resta o división. Un ejemplo de monomio será el siguiente:

-3x²

Este término algebraico se encuentra compuesto por cuatro distintos elementos, cada uno de los cuales han sido explicados de la siguiente forma:

• Signo: será el primer elemento que se encuentre en el monomio, toda vez que se haga una lectura que vaya de izquierda a derecha, será el signo, el cual tendrá la responsabilidad de enseñar cuál es la naturaleza del monomio, es decir, si este es positivo o negativo.
• Coeficiente: así mismo, en el monomio podrá distinguirse igualmente el elemento numérico, el cual es denominado como Coeficiente. Este elemento cuenta con la responsabilidad de mostrar cuál es la cantidad específica por la cual debe multiplicarse la incógnita, una vez que haya sido determinada.
• Literal: seguidamente, se encontrará el elemento literal, el cual se encuentra junto al elemento numérico, con el que sostiene una operación de multiplicación. Por lo general, este literal se encuentra representado por la letra x, y constituye la incógnita del término que debe ser despejada, para que asuma el valor que le corresponde.
• Grado: por último, en el monomio podrá distinguirse igualmente el Grado del monomio, el cual vendrá determinado por el valor del exponente al cual se encuentra elevado el elemento literal.

Polinomio

Por su parte, el Polinomio será entendido también como una de las principales expresiones algebraicas, la cual es asumida como la suma finita de monomios. Es decir, aun cuando entre el elemento numérico y el elemento literal, que existen en el monomio, no pueda existir otra operación que no sea de multiplicación, entre cada uno de estos monomios sí pueden establecerse otro tipo de operaciones. Un ejemplo de polinomios será el siguiente:

ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e

Así mismo, las Matemáticas han señalado que en los Polinomios podrán contarse distintos términos, constituidos por los diferentes monomios que se suman y el término independiente. Por igual, los Polinomios tendrán grados, el cual será dictado por el exponente de mayor valor. Si por ejemplo el mayor valor de los exponentes es el 4, entonces se considerará que el polinomio es de cuarto grado.

Ecuaciones

Otro de los conceptos que deberán evaluarse es el de Ecuaciones, las cuales pueden ser entendidas entonces como igualdades literales, en las que ocurre que el elemento literal constituye una incógnita, que debe ser despejada, pero que cuenta con la oportunidad de asumir sólo un posible valor, pues este es el único que permite que la igualdad literal planteada originalmente se cumpla. Un ejemplo de Ecuaciones sería el siguiente:

Suponiendo que se tenga la siguiente igualdad literal: x + 6 = 8

Se puede optar por sustituir a x por distintos valores, a fin de determinar si la igualdad planteada se cumple con cualquier valor para x, o si por el contrario cuenta tan sólo con una opción:

1 + 6 = 8 → 7 ≠ 8
3 + 6 = 8 → 9 ≠ 8
4 + 6 = 8 → 10 ≠ 8
2 + 6 = 8 → 8 = 8

Al realizar este ejercicio, puede observarse cómo entonces la igualdad literal planteada en primer momento sólo se cumple cuando x resulta igual a 2. Por ende, siendo una igualdad literal en la que la incógnita cuenta con una sola posibilidad, se asume entonces que la expresión es una ecuación. Si por el contrario esta igualdad pudiese cumplirse con cualquier valor para x, entonces se consideraría una Identidad.

Ecuaciones de segundo grado

Por último, también se tomará un momento para tener en cuenta el concepto de Ecuaciones de segundo grado, las cuales básicamente han sido descritas como la igualdad literal en la cual el elemento literal constituye una incógnita, que debe ser despejada a través de una única solución posible, y que también se encuentra elevado al cuadrado. A continuación, un ejemplo de la forma reducida con la que cuenta este tipo de ecuación:

ax² + bx + c = 0

Además, la disciplina matemática ha señalado que en este tipo de ecuaciones se podrán distinguir dos distintos tipos de componentes:

• Elementos: en primer lugar, se encontrarán los elementos, en donde se distinguen dos diferentes subtipos: por un lado, los coeficientes a, b y c, los cuales se encontrarán siempre constituidos por números; por otro, la incógnita, representada siempre por el literal x.
• Términos: por igual, en las ecuaciones de segundo grado podrán encontrarse tres distintos términos, cada uno de los cuales han sido descritos de la siguiente manera:

• ax² → término cuadrático, responsable de señalar el grado de la ecuación.
• bx → término lineal
• c → término independiente, llamado así por no contar con la compañía de ningún elemento literal.

Las ecuaciones de segundo grado, en término algebraicos, pueden ser consideradas también como trinomios de segundo grado, por ende, polinomios al fin, pueden ser descompuestos en producto de factores, procedimiento este que se logra por medio de la aplicación de la siguiente fórmula:

ax² + bx + c = a . (x – x₁) . (x – x₂)

Ecuaciones de grado superior a dos

Una vez se han revisado cada una de estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse a una explicación sobre las Ecuaciones de grado superior a dos, los cuales serán entendidas como igualdades literales, en donde el elemento literal constituye una ecuación a ser despejada, teniendo una sola posible solución, al tiempo que se encuentra elevado a un exponente mayor al cuadrado, pudiendo ser al cubo, a la cuarta, etc. Un ejemplo de este tipo de ecuaciones podrá ser el siguiente:

ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0

En estas ecuaciones podrán distinguirse igualmente elementos y términos. De la misma manera, en los elementos podrán hablarse de coeficientes numéricos y elementos literales, así también como de distintos términos. Igualmente, el grado viene dado por el exponente de mayor valor.

Con respecto a la forma de dar solución a este tipo de ecuaciones, los distintos autores señalan que la forma más adecuada de resolver una ecuación de grado superior a dos será a través del uso de la Regla de Ruffini, a fin de descomponerla en factores, y luego igualar estos a cero, las soluciones serán las posibles soluciones de la ecuación. Cada ecuación tendrá tantas respuestas como grados tenga.

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