Ecuaciones de segundo grado completas

Según señalan las distintas fuentes matemáticas, las Ecuaciones de segundo grado completas son uno de los dos distintos tipos de existen de este tipo de igualdades literales. Empero, antes de abordar una explicación sobre esta clase de ecuación, se tomará un momento para revisar de forma breve algunas definiciones, que de seguro permitirán entender este tipo de expresiones en su justo contexto algebraico.

Definiciones fundamentales

Así mismo, se delimitará esta revisión teórica a cuatro nociones específicas: Término algebraico, Igualdad, Ecuaciones y Ecuaciones de segundo grado, por encontrarse directamente relacionados con el tipo de igualdad literal que se revisará posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:

Término algebraico

De esta manera, se comenzará por decir que las Matemáticas han explicado el Término algebraico como una expresión, conformada por un elemento abstracto numérico y un elemento abstracto literal, entre los que ocurre una operación de multiplicación, siendo este el único procedimiento que puede ocurrir entre estos componentes, es decir, que quedan exceptuadas las operaciones de suma, resta o división. Un ejemplo de este tipo de expresiones será el siguiente:

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Por otro lado, de acuerdo a las distintas fuentes, en el término algebraico podrán distinguirse entonces cuatro diferentes tipos de elementos, cada uno de los cuales han sido explicados tal como se muestra a continuación:

  • Signo: el primer elemento que podrá distinguirse en el término algebraico, siempre que se haga una revisión de izquierda a derecha, será el Signo, el cual se sitúa delante de los otros elementos, para señalar cuál es la naturaleza matemática del término, es decir, si este es positivo o negativo. Convencionalmente, cuando el término algebraico es positivo, se opta por dar por sentado el signo más (+) sin anotarlo delante de la expresión. Por el contrario, cuando el Término algebraico es negativo, es obligación anotar el signo menos (-).
  • Coeficiente: en segundo lugar, también ocurrirá que si se sigue una lectura de izquierda a derecha, en el término algebraico, se encontrará entonces el Coeficiente, elemento este que se encontrará conformado siempre por un elemento abstracto numérico, cuya tarea es la de indicar cuál es la cantidad por la que debe multiplicarse el literal, siempre que asuma un valor preciso. En caso de que el literal pareciera no contar con ningún coeficiente explícito, se entenderá entonces que el coeficiente es igual a la unidad.
  • Literal: por igual, siguiendo hacia la derecha del término algebraico, se encontrará el elemento literal, el cual siempre será ejercido por una letra, que asumirá valores precisos en momentos determinados. De acuerdo a lo que señalan las Matemáticas, convencionalmente, para indicar el literal de un término algebraico, se usarán las letras a, b y c. No obstante, si el valor del literal resultara una incógnita, entonces podrán usarse las letras x, y o z.
  • Grado: así mismo, siendo el último elemento del término algebraico, también se encontrará, en esta expresión, el Grado, el cual estará constituido por el valor del exponente al cual se encuentra elevado el literal. En caso de que en un término haya varios numerales, el Grado vendrá determinado por el exponente de mayor valor. Así mismo, entre otras de las convenciones que giran alrededor del Grado se encuentra el de no anotar explícitamente cuando el exponente al cual se encuentra elevado el literal es igual a la unidad.

Igualdades

En segundo lugar, se revisará igualmente el concepto de Igualdad, la cual ha sido explicada básicamente como aquella relación matemática, que ocurre siempre que dos elementos cuentan con el mismo valor, es decir, que resultan entre ellos iguales. De acuerdo a lo que señalan las Matemáticas, el signo apropiado para expresar este tipo de relación es el signo igual (=).

Así mismo, los diferentes autores han señalado que las Igualdades se encuentran conformadas siempre por dos distintos términos:

  • Primer término: constituido por los elementos o componentes que se encuentran ubicados de forma anterior al signo igual.
  • Segundo término: conformado por los elementos que se disponen después del signo igual.

Por otro lado, las Matemáticas han identificado dos distintos tipos de igualdades:

  • Igualdades numéricas: si la relación de igualdad ocurre estrictamente entre elementos numéricos.
  • Igualdades literales: cuando además de números, en los términos entre los que se establece la igualdad, pueden encontrarse igualmente elementos literales.

Ecuaciones

Así también, será prudente tomar un momento para revisar el concepto de Ecuaciones, las cuales han sido explicadas por las distintas fuentes como un tipo de igualdad literal, en donde ocurre que el literal sólo tiene la oportunidad de asumir un valor en específico, para que pueda cumplirse entonces la igualdad. Un ejemplo de este tipo de expresiones será la siguiente:

x + 3 = 7

Al tener esta expresión, se puede hacer el ejercicio de asignarle distintos valores a x, a fin de poder comprobar si ciertamente la igualdad funciona con cualquier valor para x, o esta sólo puede asumir uno:

2 + 3 = 7 → 5 ≠ 7
3 + 3 = 7 → 6 ≠ 7
5 + 3 = 7 → 8 ≠ 7
9 + 3 = 7 → 12 ≠ 7
4 + 3 = 7 → 7 = 7

Cumpliendo con esta tarea, se determina entonces que ciertamente la igualdad planteada originalmente sólo puede cumplirse cuando la x asume el valor de 4. Por ende, siendo una igualdad literal en donde x solo puede tener un valor, se entiende la expresión como una Ecuación. Si por el contrario x pudiese asumir un valor cualquiera, y aun así se cumpliera la igualdad, entonces se asumiría que se está ante una Identidad.

Ecuaciones de segundo grado

Finalmente, también se lanzarán luces sobre el concepto de Ecuaciones de segundo grado, las cuales han sido explicadas entonces como aquellas igualdades literales, en donde el literal, además de contar tan sólo con la posibilidad de asumir un valor específico, este elemento se encuentra elevado al cuadrado. Un ejemplo de la forma simplificada que debe tener toda ecuación de segundo grado es el siguiente:

ax2 + bx + c = 0

Por igual, las diferentes fuentes matemáticas han señalado que en las Ecuaciones de segundo grado pueden identificarse dos distintos tipos de componentes, los cuales han sido explicados entonces de la siguiente forma:

  • Elementos: en primer lugar, se encontrarán los elementos, de los cuales la disciplina matemática ha distinguido dos de ellos: por un lado se encontrarán los componentes a, b y c, los cuales son tenidos como coeficientes; por otra parte, dentro de este tipo de ecuaciones también existirá la x, elemento que constituye el literal de la ecuación, así como la incógnita a despejar. Al ser una ecuación, la x sólo puede asumir un valor específico.
  • Términos: sin embargo, los elementos no son los únicos componentes de la Ecuación de segundo grado, pues en ella también podrá hablar de términos, de hecho, tres de ellos, los cuales han sido identificados entonces de la siguiente forma:
  • ax2 →  conocido como término cuadrático, y cuya función es darle el grado a la Ecuación.
  • bx → denominado término lineal.
  • c → por último, dentro de la ecuación se encontrará también el término independiente, puesto que está constituido por un elemento numérico, no relacionado con ningún literal.

Ecuaciones de segundo grado completas

Una vez se han revisado cada una de estas definiciones, puede que ciertamente sea más sencillo aproximarse a una definición respecto a las Ecuaciones de segundo grado completas, las cuales básicamente pueden ser explicadas como aquellas igualdades literales, en donde la incógnita sólo puede asumir un valor, se encuentra elevada al cuadrado, y todos los elementos numéricos, es decir, tanto coeficientes como términos independientes, resultan diferentes a cero.

De esta manera, analizando más de cerca este tipo de ecuaciones, se tendrá los siguientes:

En el término cuadrático ax2, en una Ecuación de segundo grado completa, el coeficiente a es diferente a 0. De hecho, en toda Ecuación de segundo grado debe darse esta condición, puesto que si a fuese igual a 0, entonces el término quedaría anulado, quedando tan solo el término lineal bx y el término independiente 0, los cuales constituirían entonces una ecuación de primer grado, de forma bx +c = 0.

Por su parte, en la Ecuación de segundo grado completa también ocurrirá que el término lineal bx se caracterizará por contar con un coeficiente b diferente a 0. En este caso, también ocurre que si el coeficiente asumiera como valor el 0, entonces al multiplicarse por el literal x, se obtendría el elemento nulo, el cual al no tener valor no se anotaría, originando contrariamente una Ecuación de segundo grado incompleta. Poor ende, en las ecuaciones de este tipo completas, debe siempre el coeficiente del elemento lineal ser diferente a 0, a fin de que este término tenga un valor, y exista como tal en la ecuación.

En último lugar, en toda Ecuación de segundo grado completa se deberá cumplir con el requisito de que el término independiente c se encuentra constituido por un elemento abstracto numérico, el cual resulta diferente a 0. En este caso, para que la expresión o igualdad literal sea considerada completa, este elemento deberá cumplir con esta característica, pues de lo contrario, al ser igual a 0, entonces sería un elemento nulo, que daría paso a una ecuación de segundo grado incompleta, de forma ax2 + bx = 0.

En consecuencia, teniendo todos sus coeficientes constituidos con elementos numéricos diferentes a 0, la Ecuación de segundo grado completa, en su forma más reducida, corresponde entonces a la siguiente forma:

ax2 + bx + c = 0

Imagen: pixabay.com

Ecuaciones de segundo grado completas
enero 29, 2019

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