Ecuaciones de segundo grado incompletas

La disciplina matemática distingue entre los distintos tipos de Ecuaciones de segundo grado, aquellas que denomina incompletas. Sin embargo, previo a abordar una explicación sobre ellas, será necesario revisar de forma breve algunas definiciones, que de seguro permitirán entender este tipo de ecuaciones en su contexto algebraico preciso.

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Definiciones fundamentales

En este orden de ideas, será también necesario enfocar esta revisión teórica a cuatro nociones específicas: Término algebraico, Igualdades, Ecuaciones y Ecuaciones de segundo grado, por encontrarse directamente relacionadas con el tipo de igualdades literales, que se estudiarán posteriormente. A continuación, cada uno de estos conceptos:

Término algebraico

Por consiguiente, se comenzará por decir que las Matemáticas han explicado el Término algebraico como un tipo de expresión, conformada por dos elementos: uno elemento abstracto numérico y un elemento abstracto literal, entre los que ocurre una operación de multiplicación, siendo esta el único procedimiento posible, puesto que entre estos elementos no puede ocurrir, de acuerdo a lo que señalan las fuentes matemáticas, operaciones de suma, resta o división. Un ejemplo de este tipo de expresión será el siguiente:

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Además, la disciplina matemática señala que en el Término algebraico podrán encontrarse cuatro distintos elementos, cada uno de los cuales han sido explicados a su vez, tal como se muestra a continuación:

  • Signo: de esta manera, el primer elemento que podrá distinguirse en el Término algebraico, si se realiza una lectura de izquierda a derecha, es el signo, cuya tarea será indicar si la expresión responde a una naturaleza positiva o negativa. Tradicionalmente, cuando el término es positivo, no se anota delante de él el signo más (+) asumiéndose como entendido. Por el contrario, si el término algebraico es negativo, debe anotarse obligatoriamente el signo menos (-).
  • Coeficiente: seguidamente, se encontrará en el término algebraico el Coeficiente, elemento este que está constituido por un elemento numérico, cuya tarea es indicar cuál es la cantidad por la que deberá multiplicarse el elemento literal, toda vez que asuma un valor específico.
  • Literal: así también, en esta lectura de izquierda a derecha, realizada en el término algebraico, se encontrará entonces el literal, elemento que estará constituido por una letra, cuya misión será asumir un valor específico, en un momento determinado. Por convención, las letras que son utilizadas por las matemáticas para ejercer como literales de los términos algebraicos son la a, b y c. No obstante, cuando el literal del término constituye una incógnita, entonces se emplean las letras x, y o z.
  • Grado: por último, en el término algebraico, también se podrá contar con el Grado, elemento este que se encuentra constituido por el valor del exponente al cual se encuentra elevado el literal. Si se diera el caso de que en un término algebraico existieran varios literales, entonces se tendría que el grado sería determinado por el exponente de mayor valor. Así mismo, tradicionalmente, cuando el término es de primer grado, el literal no cuenta con un exponente explícito, aun cuando se sobreentiende que este se encuentra elevado entonces a la unidad.

Igualdades

El segundo concepto que se estudiará brevemente es el de Igualdades, las cuales han sido explicadas por las distintas fuentes como la relación matemática, que existe entre dos elementos o términos que resultan iguales entre ellos, en cuanto a su valor. Por otro lado, la disciplina matemática ha señalado igualmente que el signo que sirve para expresar este tipo de relación es el signo igual (=).

Además de esto, las Matemáticas también han señalado que las Igualdades son vistas como relaciones en donde pueden distinguirse dos distintos términos:

  • Primer término: conformado por los elementos o término que se disponen antes del signo igual.
  • Segundo término: por su parte, el segundo término de la igualdad será aquel que se ubique después del signo utilizado para expresar esta relación.

Igualmente, los diferentes autores señalan que existen dos distintas igualdades, las cuales han sido explicadas de la siguiente forma:

  • Igualdad numérica: cuando los elementos que constituyen la igualdad son estrictamente números.
  • Igualdad literal: ocurre cuando en los términos que conforman la igualdad, no sólo pueden encontrarse números, sino que en estos también se encuentran elementos literales.

Ecuación

En tercera instancia, también será conveniente tomar un momento para revisar la definición de Ecuación, la cual ha sido explicada entonces como aquella igualdad literal, en donde ocurre que el elemento literal sólo cuenta con la posibilidad de asumir un valor específico, para que la igualdad planteada originalmente se cumpla. Un ejemplo de este tipo de igualdad podrá ser la siguiente:

x + 2 = 8

Al tener esta expresión matemática, se pude realizar el ejercicio de hacer que la x asuma distintos valores, con el fin de corroborar que la igualdad entre estos términos sólo es posible cuando x asume un valor determinado:

3 + 2 = 8 → 5 ≠ 8
5 + 2 = 8 → 7 ≠ 8
9 + 2 = 8 → 11 ≠ 8
6 + 2 = 8 → 8 = 8

Cumplida la tarea, se observa entonces que ciertamente la igualdad literal sólo puede establecerse cuando el valor de x es igual a 6. En consecuencia, teniendo el literal un único posible valor, se considera la igualdad literal como una Ecuación. Si por el contrario, la relación de igualdad pudiese establecerse, independientemente del valor que asumiera x, entonces se hablaría de una Identidad.

Ecuaciones de segundo grado

Así también, será de provecho pasar revista sobre el concepto de Ecuaciones de segundo grado, las cuales han sido explicadas como aquellas igualdades literales, en donde el elemento literal, o incógnita, además de tener la posibilidad de asumir tan solo un valor, también se caracteriza por encontrarse elevado al cuadrado. De acuerdo a lo que señalan las distintas fuentes, toda Ecuación de segundo grado, después de simplificada, debe responder a la siguiente forma:

ax2 + bx + c = 0

Por otro lado, los distintos autores han señalado que en las Ecuaciones de segundo grado podrán contarse dos distintos componentes, los cuales han sido explicados de la manera que se muestra a continuación:

  • Elementos: tal como señalan los diferentes textos, en toda Ecuación de segundo grado se encontrarán dos tipos de elementos: los elementos a, b y c, conocidos como coeficientes, y constituidos por números, que cumplen con la tarea de multiplicarse con el valor que asuma el literal; así mismo, dentro de la Ecuación de segundo grado se encontrará la incógnita, constituida por el elemento literal x, y cuya tarea es asumir un valor específico, una vez ha sido despejada.
  • Términos: así mismo, en las Ecuaciones de segundo grado podrán distinguirse tres distintos tipos de términos, los cuales han sido descritos de la siguiente forma: el término cuadrático, de forma ax2, cuya tarea es darle el grado a la ecuación, en él siempre el coeficiente debe ser distinto a 0; por otro lado, en este tipo de ecuaciones, también se encuentra el elemento lineal bx; por su parte, el tercer término de la ecuación de segundo grado es el término independiente o coeficiente, el cual estará conformado por un elemento numérico, no relacionado con ningún elemento literal.

Ecuaciones de segundo grado incompletas

Toda vez que se ha concluido esta revisión teórica, puede que ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse a la definición de Ecuaciones de segundo grado incompletas, las cuales han sido descritas básicamente como aquellas igualdades literales, en donde además de contar con una incógnita que sólo puede asumir un valor para que la relación se cumpla y encontrarse elevada al cuadrado, alguno de sus coeficientes, a excepción del correspondiente al término cuadrático, puede resultar igual a cero, lo cual descompletaría la ecuación, dejándola sin alguno de sus tres términos.

Sin embargo, puede que sea prudente revisar cada uno de los tres términos de la Ecuación de segundo grado incompleta, pues esto ayudará a entender mucho mejor su naturaleza.

  • ax2 → este elemento, conocido como término cuadrático, debe cumplir siempre con el requisito de contar con un coeficiente diferente a 0, incluso para que la Ecuación pueda ser entendida como una Ecuación de segundo grado. Por el contrario, y ahí reside la condición, si este coeficiente asumiera un valor igual a 0, al multiplicar el valor que haya asumido el literal elevado al cuadrado, dará también como resultado 0, originando entonces una ecuación de forma bx + c = 0, lo cual es una ecuación de primer grado.
  • bx → en segundo lugar, en algunas ocasiones, en la Ecuación de segundo grado incompleta, puede ocurrir que el coeficiente correspondiente al término lineal sea igual a cero, situación que originaría entonces que el término se anulara, en tanto que si asumiera el valor de cero y se multiplicara con el valor de x, entonces se obtendría como resultado el propio 0, anulando entonces el término, y dando como resultado una Ecuación de segundo grado incompleta de forma: ax 2 + c = 0
  • c→ también puede ocurrir que el término independiente sea igual a 0, lo cual hará que este término represente un valor nulo, por lo que se descompleta la ecuación, dando como resultado entonces una ecuación de segundo grado incompleta, de forma ax2 + b = 0
  • bx y c → por último, podría suceder igualmente que tanto el término lineal bx como el término independiente c tengan elementos numéricos iguales a 0, por lo que resultarán ser términos nulos, que hagan de la igualdad una Ecuación de segundo grado incompleta, cuya forma corresponderá a la siguiente: ax2 = 0

Imagen: pixabay.com

Ecuaciones de segundo grado incompletas
enero 29, 2019

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