Ejemplo de Identidad de Gauss

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Previo a exponer un ejemplo sobre la aplicación de la Identidad de Gauss en el desarrollo de un trinomio al cubo, se revisarán algunas definiciones, que de seguro permitirán entender este ejercicio dentro de su justo contexto matemático.

Definiciones fundamentales

Por consiguiente, también se tomará la decisión de delimitar esta revisión teórica a tres nociones específicas: Trinomios, Identidades notables e Identidad de Gauss, por encontrarse directamente relacionadas con el ejercicio que se estudiará posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:

Trinomios

En primer lugar, entonces, podrá comenzarse a decir que los Trinomios han sido explicados, a grandes rasgos, como una expresión algebraica, la cual se encuentra compuesta por la suma o resta de monomios, es decir, de términos algebraicos, conformados por su parte por el producto que se establece entre un elemento numérico y un elemento literal, siendo además esta la única operación admitida.

De esta manera, los Trinomios han sido explicados también como un polinomio de tres términos o monomios. Algunos ejemplos de esta clase de expresión serán los siguientes:

a + b + c=
x4 + y2 + 3 =
5a3 + b2 + 1 =

Identidades notables

Por otro lado, también se tomará un momento para pasar revista sobre el concepto de Identidades notables, las cuales han sido explicadas como uno grupo de fórmulas, que tienen como objetivo orientar la factorización de polinomios, es decir, el proceso por medio del cual los polinomios se convierten en productos.

Así también, las Matemáticas han señalado que las Identidades notables permiten la realización de multiplicación de polinomios de forma directa, sin necesidad de que deba procesarse término por término, lo cual hace que el proceso lleve mucho menos tiempo, permitiendo además que se corra menos riesgo de cometer errores.

Identidad de Gauss

Por último, también será necesario lanzar luces sobre el concepto de Identidad de Gauss, la cual ha sido explicada entonces como uno de los distintos tipos de identidades notables, que pueden encontrarse en relación con la factorización de polinomios.

De forma mucho más precisa, se puede decir que la Identidad de Gauss es una fórmula o propiedad matemática que se emplea para el desarrollo o factorización de trinomios elevados al cubo, es decir, de polinomios de tres monomios, que se encuentren elevados a la potencia de tres.

En consecuencia, siempre que se quiera resolver un trinomio elevado al cubo, por medio de la Identidad de Gauss, el producto será igual a la suma del primer término al cubo, más el segundo término al cubo, más el tercer término al cubo, menos el triple del producto de los tres términos, planteamiento que resultará igual a su vez al producto de la suma de los tres términos por el cuadrado del primer término, más el cuadrado del segundo término, más el cuadrado del segundo término, menos el producto del primer término por el segundo, menos el segundo término por el tercero, menos el primer término por el tercero. Esta identidad puede expresarse matemáticamente de la siguiente forma:

a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c).(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac)

Ejemplo de Identidad de Gauss

Una vez se han revisado estas explicaciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse a la solución de un trinomio al cubo, por medio de la aplicación de la Identidad de Gauss. A continuación, el siguiente ejemplo:

Factorizar este trinomio al cubo:

(x + 2y + 3)3 =

Teniendo claridad de que la expresión algebraica con la que se trabajará será un trinomio al cubo, se comienza entonces por tener presente también cuál es la fórmula correspondiente a la identidad notable que se quiere aplicar, es decir, la Identidad de Gauss:

a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c).(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac)

Hecho esto, se toma entonces el trinomio al cubo, y se aplica la fórmula que plantea esta identidad notable:

(x + 2y + 3)3 = (x)3 + (2y)3 + (3)3 + 3.(x+2y+3) .(x.2y + x.3 + 2y.3) – 3(x.2y.3)

Ya planteadas todas las operaciones que producen la aplicación de la identidad notable en el trinomio al cubo, se procede a resolverlas:

(x)3 + (2y)3 + (3)3 + 3.(x+2y+3) .(x.2y + x.3 + 2y.3) – 3(x.2y.3)=

x3 + 8y3 + 27 + (3x + 6y + 9). (2xy + 3x + 6y) – 18xy=

x3 + 8y3 + 27 + 6x2y + 9x2 + 18xy +12xy2 +18xy + 36y2 + 18xy + 27x + 54y – 18xy

x3 + 8y3 +  27 + 6x2y + 9x2 + 12xy2 + 36y2  + 27x + 54y + (18xy + 18xy)=

x3 + 8y3 +  27 + 6x2y + 9x2 + 12xy2 + 36y2  + 27x + 54y + 36xy

Finalmente, se procede a exponer matemáticamente hablando el resultado que se ha obtenido:

(x + 2y + 3)3 = x3 + 8y3 +  27 + 6x2y + 9x2 + 12xy2 + 36y2  + 27x + 54y + 36xy

No obstante, esta no es la única opción que existe para desarrollar un trinomio al cubo, puesto que por ejemplo también se podría aplicar el método de la agrupación de términos, cuya fórmula es la siguiente:

a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3a2c + 3ab2 + 3b2c + 3ac2 + 3bc2 + 6abc

En este caso, se comienza entonces a aplicar esta fórmula a este trinomio al cubo:

(x + 2y + 3)3 = (x)3 + (2y)3 + (3)3 + 3.(x)2.(2y) + 3(x)2.(3) + 3.(x).(2y)2 + 3.(2y)2.(3) + 3.(x).(3)2 + 3.(2y).(3)2 + 6.(x).(2y).(3)

Así mismo, se deben resolver entonces las distintas operaciones que han quedado planteadas:

(x)3 + (2y)3 + (3)3 + 3.(x)2.(2y) + 3(x)2.(3) + 3.(x).(2y)2 + 3.(2y)2.(3) + 3.(x).(3)2 + 3.(2y).(3)2 + 6.(x).(2y).(3) =

x3 + 8y3 + 27 + 6x2y + 9x2 + 3(x).(4y2) + 3.(4y2).(3) + 3.(x).(9) + 3.(2y).(9) + 24xy=

x3 + 8y3 + 27 + 6x2y + 9x2 + 12xy2 + 36y2 + 27x + 54y + 24xy

Se reorganizan entonces los términos hallados, y se comprueba que ciertamente este método conduce al mismo resultado al que se llega si se aplica entonces la Identidad de Gauss

(x + 2y + 3)3 = x3 + 8y3 +  27 + 6x2y + 9x2 + 12xy2 + 36y2  + 27x + 54y + 36xy

Imagen: pixabay.com

Ejemplo de Identidad de Gauss

Bibliografía ►

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