Ejemplo de suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado

Definiciones fundamentales

En consecuencia, se optará igualmente por delimitar esta revisión teórica a tres nociones específicas: Ecuaciones de segundo grado, Fórmula general de ecuaciones de segundo grado y Suma de soluciones de ecuaciones de segundo grado, por encontrarse directamente relacionadas con la propiedad que se estudiará posteriormente. A continuación, cada uno de estos conceptos:

Ecuaciones de segundo grado

Por consiguiente, se comenzará por decir que las Matemáticas han explicado las Ecuaciones de segundo grado como aquellas igualdades literales, en donde la incógnita se encuentra representada por un literal, que además de contar tan sólo con una posible solución, para que la igualdad se cumpla, se encuentra elevado al cuadrado, siendo este exponente el de mayor valor en la expresión. A continuación, un ejemplo de cómo puede lucir esta igualdad en su forma reducida:

ax² + bx + c = 0

Así también, la disciplina matemática ha señalado que las Ecuaciones de segundo grado se encontrarán conformadas por dos distintos tipos de componentes, los cuales han sido explicados de la siguiente forma:

• Elementos: en primer lugar se encontrarán los elementos, categoría esta en donde podrán distinguirse a su vez dos distintos subtipos: por un lado, estarán los coeficientes a, b y c, los cuales estarán conformados por elementos numéricos; por otro, también se distinguirá la incógnita, la cual deberá ser despejada o determinada, siendo representada de forma tradicional por la letra x.
• Términos: en segundo lugar, dentro de la Ecuación de segundo grado también existirán tres distintos términos, los cuales han sido descritos de la siguiente forma:

• ax² → término cuadrático, al cual  señala el grado de la ecuación.
• bx → término lineal.
• c → término independiente, llamado así por ser un elemento numérico, que no es acompañado por ningún elemento literal.

Por otro lado, la disciplina matemática ha señalado igualmente cómo la presencia o ausencia de estos términos, hacen que pueda hablarse de dos distintos tipos de ecuaciones de segundo grado:

• Ecuaciones de segundo grado incompletas: por un lado, se encontrarán aquellas ecuaciones, cuyos términos cuadráticos o independientes –y en ocasiones ambos- resultan nulos, lo cual se debe a que sus coeficientes son iguales a cero. En este tipo de ecuaciones, sin embargo, el término cuadrático cuenta siempre con un coeficiente diferente a cero, ya que si no fuese así el término que le da el grado a la ecuación se anularía, originando una ecuación de primer grado. Así mismo, las Matemáticas han señalado que las ecuaciones de segundo grado completas podrán tener las siguientes formas:

ax² + c = 0
ax² + b = 0
ax² = 0

• Ecuaciones de segundo grado completas: igualmente, existirán las Ecuaciones de segundo grado completas, las cuales han sido explicadas como aquellas ecuaciones en donde el literal con el mayor valor de exponente se encuentra elevado al cuadrado, y además los tres términos presentan coeficientes diferentes a cero. Estas ecuaciones cuentan con la siguiente forma:

ax² + bx + c = 0

Fórmula general para ecuaciones de segundo grado completas

En segunda instancia también será necesario lanzar luces sobre uno de los procedimientos concebidos por las Matemáticas para la resolución de ecuaciones de segundo grado, que resulten completas, es decir, que presenten sus tres distintos términos con coeficientes diferentes a cero. Por consiguiente, la disciplina matemática ha indicado que estas igualdades pueden solucionarse bien por el método del cuadrado perfecto, o bien a través de la aplicación de la fórmula general, la cual contará con la siguiente forma:

Con respecto a esta fórmula, la disciplina matemática señala que el radicando del radical, ubicado en el ámbito superior de esta fórmula, se denomina Discriminante, cuya naturaleza –bien si es positiva, negativa o nulo- determinará la cantidad de soluciones que una ecuación de segundo grado completas puede tener.

Suma de soluciones de ecuaciones de segundo grado

Finalmente, también se llamará a capítulo el concepto de Suma de soluciones de las ecuaciones de segundo grado, lo cual constituye una de las principales propiedades que pueden encontrarse en este tipo de ecuaciones. Por consiguiente, esta propiedad señala que siempre la suma de dos soluciones de ecuaciones de segundo grado serán igual al coeficiente del término lineal, con el signo contrario, entre el coeficiente del término cuadrático:

Ejemplo de suma de soluciones de ecuaciones de segundo grado

Toda vez que se han revisado cada una de estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse a la exposición de un ejemplo concreto, que permita ver cómo se cumple esta propiedad matemática, conocida como Suma de soluciones de ecuaciones de segundo grado. A continuación, el siguiente ejercicio:

2x² – 5x + 2 = 0

Lo primero que se hará ante esta ecuación, y con el fin de comprobar la propiedad de la Suma de soluciones de ecuaciones de segundo grado, es resolver la igualdad literal planteada, con el fin de obtener las soluciones, con las cuales se comprobará la propiedad matemática. Por ende, se procederá a evaluar la ecuación, con el fin de determinar su naturaleza. Al hacerlo, se concluye que se trata de una ecuación de segundo grado completa, por lo que entonces podrá solucionarse aplicando la fórmula general, para este tipo de ecuaciones:

Se obtienen entonces dos soluciones para esta ecuación:

El siguiente paso, será sumar estas soluciones:

Una vez sumadas estas soluciones, se comprueba la propiedad matemática en cuestión, pues se obtiene como total el valor del coeficiente lineal, y con signo contrario, entre el coeficiente del término cuadrático.

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