Ejemplo del método de las proporciones en la Regla de tres compuesta directa-inversa

Definiciones fundamentales

Por consiguiente, puede que también sea prudente enfocar esta revisión a siete nociones específicas: Razones, Proporciones, Magnitudes directamente proporcionales, Magnitudes inversamente proporcionales, Magnitudes proporcionales a otras varias, Regla de tres compuesta directa-inversa y Método de las proporciones en la Regla de tres compuesta directa-inversa, por encontrarse directamente relacionadas con el ejercicio que se estudiará seguidamente. A continuación, cada una de estas definiciones:

Razones

De esta manera, se comenzará por decir que las Matemáticas han definido las Razones como el tipo de expresiones que sirven para dar cuenta del cociente entre dos números, es decir, que las Razones serán entendidas como las expresiones que vienen a señalar cuántas veces se encuentra contenido el Divisor dentro del Dividendo. Algunos ejemplos de Razones serán los siguientes:

De acuerdo a lo que señalan las Matemáticas, las Razones pueden considerarse como expresiones conformadas por dos tipos de elementos: el primero de ellos, el Antecedente, el cual puede ser entendido como el elemento que ocupa el ámbito superior de la razón, y que cuenta con la responsabilidad de señalar el Dividendo; así también, dentro de la Razón se encontrará el Consecuente, el cual se ubica en el ámbito inferior de la expresión, teniendo la misión de indicar cuál es el Divisor.

Por otro lado, las Matemáticas han advertido sobre la necesidad de no confundir las Razones con las Fracciones, situación que podría ocurrir debido a la semejanza que existe entre estas dos expresiones. No obstante, la disciplina matemática señala que en realidad las Razones y as Fracciones se encuentran conformadas por elementos distintos, al tiempo que expresan situaciones matemáticas diferentes.

Por consiguiente, se tendrá que las Razones –conformadas por el Antecedente y el Consecuente- dan cuenta del cociente entre dos números, mientras que las Fracciones –conformadas por el Numerador y el Denominador- se encarga entonces de referir cuántas partes se ha tomado de una unidad, que se encuentra dividida en varias partes iguales.

Proporciones

En segunda instancia, puede que también sea necesario tomar un  momento para revisar la definición de Proporciones, las cuales han sido explicadas entonces como la relación de igualdad que existe entre dos razones. Ergo, dos razones proporcionales serán dos razones iguales. A continuación, un ejemplo de proporción:

Al revisar este caso, se puede observar cómo ninguno de los elementos que conforman estas razones coincide entre sí respecto al valor. Sin embargo, estas razones pueden considerarse proporcionales, o iguales, puesto que si se resolvieran, en ambos casos se obtendría un cociente igual a 2. Por ende, se considerarán Razones proporcionales por ser las dos expresiones del mismo cociente.

No obstante, este no es el único método por medio del cual se puede determinar si dos razones son proporcionales o no. En tal sentido, se podrá entonces usar el método de los extremos y los medios, a través del cual se busca multiplicar el Antecedente de la primera razón por el Consecuente de la segunda expresión, así como el Consecuente de la primera expresión por el Antecedente de la segunda razón. Si ambos productos coinciden, entonces las razones se consideran proporcionales:

Este atributo se conoce como una de las dos principales leyes de la Proporción, y resulta bastante útil toda vez que algún elemento de la proporción se presente como desconocido. En este caso, bastará con aplicar una Regla de tres simple directa, para así multiplicando los dos elementos del ámbito conocido, y luego dividiendo el producto de este elemento entre el único elemento conocido del ámbito que se desea completar, determinar el elemento de la proporción que se presentaba como incógnito:

Magnitudes directamente proporcionales

Así también, será necesario tomar un momento para revisar el concepto de Magnitudes directamente proporcionales. No obstante, ante de abordar esta explicación, puede que resulte conveniente traer a capítulo la propia definición de Magnitudes, las cuales han sido explicadas por las distintas fuentes como un conjunto de elementos, que pueden sumarse, compararse u ordenarse en cuanto a otras unidades o magnitudes que les resulten semejantes en su naturaleza.

En cuanto a las Magnitudes directamente proporcionales, estas han sido descritas como el conjunto o par de Magnitudes, en las que se observa que si la primera se multiplica o divide entre un factor específico, la otra que crea conjunto con ella termina entonces por verse afectada por el mismo factor de igual manera.

Magnitudes inversamente proporcionales

Por su parte, las Magnitudes inversamente proporcionales han sido explicadas como el conjunto o par de Magnitudes, en donde puede observarse entonces la propiedad de que cuando una de ellas se multiplica o divide entre un factor específico, la segunda de ellas se ve también afectada por este factor, pero de manera inversa y proporcional. Esto quiere decir que si la primera magnitud se ve multiplicada por un factor, la segunda magnitud se divide entre este elemento. Por el contrario, si la primera magnitud se ve dividida por un factor específico, entonces la otra reacciona multiplicándose.

Magnitudes proporcionales a otras varias

Con respecto a las Magnitudes proporcionales a otras varias, las distintas fuentes han señalado que estas pueden ser descritas como la proporcionalidad que sostiene una magnitud con más de una magnitud, en tanto las restantes se mantengan fijas. Así mismo, este tipo de magnitudes forman proporciones de tres magnitudes, cosa a resaltar ya que la norma indica que la proporción se encuentra constituida entonces tan solo por dos razones.

Regla de tres compuesta directa-inversa

Otro concepto que será preciso tener en cuenta es el de Regla de tres compuesta directa, la cual ha sido descrita entonces como el procedimiento matemático, cuyo principal objetivo es el despejar la incógnita que puede presentarse, en referencia a un elemento de una proporción constituida por tres magnitudes, en donde además se da la particularidad de que dos magnitudes establecen entre ellas magnitudes directamente proporcionales, mientras que otras dos sostienen magnitudes inversamente proporcionales.

De igual manera, las Matemáticas han señalado que existen dos métodos posibles para dar solución a este tipo de ejercicios: el Método de las proporciones y el Método de la reducción a la unidad.

Método de las proporciones en la Regla de tres compuesta directa-inversa

Finamente, será también preciso detenerse un momento para señalar cuál es la definición del Método de las proporciones, aplicado en los ejercicios de Regla de tres compuesta directa-inversa, el cual ha sido descrito como el método que tiene como propósito expresar los distintos datos que se dan sobre las magnitudes en forma de proporción, a fin de luego, por medio de un ejercicio de Regla de tres compuesta directa-inversa, despejar el elemento que se ha presentado como incógnito.

Ejemplos del Método de las proporciones en la Regla de tres compuesta directa-inversa

Una vez se han revisado estos conceptos, puede que ciertamente sea mucho más sencillo entender el ejemplo que se exponga en referencia a la aplicación correcta del Método de las proporciones en los ejercicios de Regla de tres compuesta directa-inversa. A continuación, el siguiente ejemplo:

En una constructora, levantaron 4 casas en un total de 30 días, empleando para esto 60 obreros. ¿Cuántos obreros se necesitarían para levantar 6 casas en un total de 90 días?

Luego de que se han planteado el ejercicio, lo primero que deberá hacerse, será establecer cómo se relacionan las magnitudes presentadas en cuanto a sus proporciones. En este caso, se tiene lo siguiente:

• Las magnitudes Número de casas y Número de días pueden considerarse entonces como Magnitudes directamente proporcionales, en tanto que si una de ellas aumenta, la otra también lo hace.
• Por su lado, las Magnitudes Número de días y Número de trabajadores pueden considerarse inversamente proporcionales, en cuanto que aun cuando aumente el número de casa a realizarse, al existir más tiempo, se asume entonces que se necesitará menos número de obreros.

Hecho esto, es decir, sabiendo cuáles son las Magnitudes directamente proporcionales y cuáles las inversamente proporcionales, se pasa entonces a construir una tabla informativa:

Número de casas	Número de días	Número de obreros
4	30	60
6	90	X

Una vez se ha cumplido este paso, puede verse de forma más clara cómo deben estar conformadas las razones, entre las que se establece la proporción de tres magnitudes. De esta manera, el siguiente paso a cumplir será entonces el expresar la proporción, teniendo cuidado de anotar el inverso de aquella que resulta inversamente proporcional, y que se encuentra constituida por la magnitud Número de días:

El siguiente paso será convertir esta proporción establecida entre tres magnitudes, en una proporción entre solo dos razones. Para esto, se resolverá la multiplicación planteada entre dos razones. En este sentido, se recordará entonces que para multiplicar estas razones, se necesitara entonces multiplicar los antecedentes y los consecuentes:

Al conseguir esta proporción de dos magnitudes, también puede observarse que uno de sus elementos resulta incógnito, por lo que para despejarlo será necesario aplicar entonces una Regla de tres simple directa. Por consiguiente, se multiplican los valores de los dos elementos conocidos, para luego dividirlos entre el único elemento que se conoce del ámbito que se desea completar:

Despejada la incógnita, se entiende que lo que ha podido determinarse entonces es el número de obreros que se necesitarían para construir 6 casas en 90 días. Por ende, se tiene que se han podido precisar también las siguientes proporciones:

Para construir 4 casas se requieren 30 días y 60 obreros
Para construir 6 casas se necesitarán 90 días y 30 obreros

Este ejercicio también podría realizarse por medio del Método de la reducción a la unidad, en el cual entonces se busca determinar cuál es la relación proporcional que corresponde a la unidad, pues al conocerla se puede establecer otro tipo de proporciones, que vengan entonces a dar solución al ejercicio planteado.

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