Ejemplos de cómo calcular el área del cono

Definiciones fundamentales

De esta manera, será pertinente también delimitar esta revisión teórica a dos nociones específicas: el Cono y el Área del cono, por encontrarse directamente relacionadas con el procedimiento que se estudiará posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:

El cono

Por consiguiente, se comenzará por decir que la Geometría ha definido el Cono, de forma general, como uno de los tres cuerpos redondos que existen. Desde un punto de vista mucho más específico, el Cono será también entendido como el cuerpo que se dibuja toda vez que un triángulo rectángulo –es decir, un triángulo que cuenta con un ángulo recto- gira sobre uno de sus catetos.

Así también, la disciplina geométrica ha indicado que en el Cono se pueden encontrar cinco distintos elementos, cada uno de los cuales han sido descritos de la siguiente forma:

• Eje del cono: en primer lugar, se encontrará el Eje del cono, el cual ha sido explicado como el cateto fijo, sobre el cual gira el triángulo recto.
• Generatriz: por otra parte, en el Cono también existirá la Generatriz, constituida por la hipotenusa del triángulo rectángulo que gira sobre su cateto. Este elemento del cono será el responsable de engendrar este cuerpo redondo.
• Base del cono: así mismo, dentro del Cono se encontrará igualmente la Base, la cual será constituida por un círculo, que se dibujará también cuando la hipotenusa engendre el Cono. Por igual, la Base del cono contará con un radio, constituido por el cateto que se delimita el ángulo recto del triángulo rectángulo que genera el Cono con su giro.
• Altura: por igual, en el Cono se encontrará la Altura, medida que resultará equivalente a la distancia que existe entre el vértice y la base.
• Vértice: finalmente, dentro del Cono también podrá distinguirse el Vértice, el cual será entendido como el punto superior de este cuerpo redondo, así como el espacio geométrico en donde se encuentra el eje y la generatriz.

Área del cono

En segunda instancia, será también necesario lanzar luces sobre la definición de Área del cono, la cual ha de ser comprendida como la medida total de la superficie de este cuerpo redondo. Sin embargo, a la hora de determinar esta medida será también necesario traer a capítulo el Desarrollo del cono, el cual es entendido como la deconstrucción de este cuerpo redondo tridimensional en las respectivas figuras planas que la conforman.

Al realizar entonces el Desarrollo del cono, se tendrá que el Cono se encuentra conformado por un sector circular, que constituirá su área lateral, y un círculo, conformado por la base de este cuerpo. Por consiguiente, a la hora de determinar el Área total del cono será necesario sumar el Área lateral de esta figura y el Área de la base, operación esta que dará origen a la siguiente fórmula:

A total cono =    A lateral + A base

A total cono = π . r . g + π . r²

A total cono = π . r . (g + r)

En esta fórmula, r será equivalente al radio de la circunferencia que hace de base, mientras que g será la medida de la hipotenusa que engendra el cono.

Ejemplo de cómo determinar el Área del cono

Una vez se han revisado cada uno de estos conceptos, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar un ejercicio en donde pueda verse de forma concreta cómo debe determinarse cuál es el Área del cono, tal como se muestra a continuación:

Teniendo un Cono cuyo radio es igual a 3 cm, y la generatriz cuenta con una medida de 6 cm, determinar cuál es el área de este cuerpo redondo:

A fin de cumplir con el cometido que ordena el planteamiento, será necesario entonces comenzar por evaluar la información que se tiene:

r = 3 cm
g = 6 cm

Una vez se haya hecho esto, se comenzará entonces por determinar cada una de las áreas parciales, para después sumarlas y determinar el área total del Cono. Para hacerlo se comenzará entonces por determinar cuál es el área lateral del Cono, usando para esto la fórmula que se usa para calcular el área del sector circular:

A lateral del cono =  π . r. g

A lateral del cono = 3,14 . 3 . 6

A lateral del cono=  56.52 cm²

El segundo paso será determinar entonces cuál es el área de la base, para lo que se usará entonces la fórmula que se emplea para determinar el área del círculo:

A base del cono = π . r²

A base del cono = 3,14 . 3²

A base del cono = 28,26

Teniendo estas áreas determinadas, se procede entonces a sumarlas, para obtener el Área total del cono:

A total del cono = A lateral + A base

A total del cono = 56,52 + 28,26

A total del cono = 84,78 cm²

No obstante, existe una forma mucho más directa de calcular el Área total del cono, la cual consistiría en la siguiente operación:

A total cono = π . r . (g + r)

A total cono = 3,14 . 3 . (6 + 3)

A total cono = 3,14 . 3 . (9)

A total cono = 9,42 . 9

A total cono = 84,78 cm²

Imagen: wikipedia.org