Ejemplos de cómo determinar el Máximo Común Divisor

Definiciones fundamentales

De esta manera, se tomará también la decisión de delimitar esta revisión teórica a tres nociones específicas: Números enteros, Divisor y Máximo Común Divisor, por encontrarse directamente relacionados con los ejemplos que se estudiarán posteriormente. A continuación, cada uno de estos conceptos:

Los números enteros

Por consiguiente, podrá comenzarse por decir que las Matemáticas han definido los Números enteros como aquellos elementos numéricos, que cumplen con la tarea de expresar cantidades exactas específicas, así como la ausencia de ellas.

Igualmente, la disciplina matemática ha señalado que los Números enteros pueden ser considerados también los elementos numéricos constituyentes del conjunto Z, agrupación esta en donde a su vez pueden ser identificados tres distintos tipos de números enteros. A continuación, una explicación de cada uno de ellos:

• Números enteros positivos: en primer lugar, podrán encontrarse los Números enteros positivos, descritos como aquellos números enteros, cuya tarea es dar cuenta de cantidades exactas y específicas. Así mismo, las Matemáticas señalan que los Números enteros positivos se caracterizan por contar con un signo más (+) delante de ellos, el cual cumple con la tarea de indicar su naturaleza positiva. Sin embargo, por tradición, este signo no se anota, sino que se da por sentado.
• Números enteros negativos: por otro lado, dentro de los Números enteros, también se encuentran los Números enteros negativos, los cuales tienen la misión de señalar la ausencia o deuda de cantidades exactas. Por su parte, esta clase de números cuenta con un signo menos (-) delante de ellos, el cual deberá ser anotado siempre, para distinguir estos números de los enteros positivos.
• Cero: finalmente, en los Números enteros también existe el cero, sin embargo, según revelan las distintas fuentes, el cero no es un número, sino que es considerado por las Matemáticas como un símbolo, cuya misión es señalar la ausencia plena o total de una cantidad. Al no ser un número, sino un símbolo, el Cero entonces no cuenta con un signo, es decir, no es ni positivo ni negativo.

Divisor de un número entero

En segunda instancia, también será necesario lanzar luces sobre el concepto de Divisor de un número entero, el cual ha sido definido como el número entero que cuenta con la capacidad de dividir a otro número entero, de manera exacta, es decir, sin dejar Resto, y dando como resultado un cociente también entero.

Máximo común divisor

Por último, se revisará igualmente la definición del Máximo común divisor, el cual ha sido explicado  por las distintas fuentes como el número entero que resulta ser el máximo divisor común con el que cuentan dos o más números enteros.

Para determinarlo, bastará con calcular los divisores de los números involucrados, luego comparar los resultados, e identificar cuál de ellos coincide y además cuenta con el máximo valor. Es necesario saber que los divisores de un número son todos los números enteros, tanto positivos como negativos, que puedan dividirlo de forma exacta, arrojando un cociente igualmente entero. No obstante, todo número, tal como sucede con los números primos, tiene al menos cuatro divisores: el 1, el -1, el mismo, su opuesto.

Ejemplos de cómo determinar el Máximo común divisor

Toda vez se han revisado cada una de estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo exponer algunos ejercicios, que de seguro permitirán ver de forma concreta cómo se debe proceder en los distintos casos matemáticos, que pueden existir en referencia al Máximo Común Divisor. A continuación, los siguientes ejercicios:

Ejemplo 1

Determinar el Máximo Común Divisor de 8 y 12.

Al momento de deber dar respuesta a este planteamiento, lo primero que se hará será determinar cuáles son los divisores respectivos a cada número:

Divisores del 8:

8 : 1 = 8
8 : 2 = 4
8 : 4 = 2
8: 8 = 1

Divisores del 12:

12: 1 = 12
12 : 2 = 6
12 : 3 = 4
12 : 6 = 2
12 : 12 = 1

Se comparan entonces los divisores:

D(8) = 8, 4, 2, 1
D (12) = 12, 6, 4, 2, 1

Una vez que se cumple este paso, se puede ver entonces cómo estos dos números cuentan con dos divisores comunes: el 4 y el 2. No obstante, el mayor es el 4, por lo que es identificado como el Máximo Común Divisor. Por último, se expresa entonces el resultado obtenido:

M.C.D (8, 12) = 4

Ejemplo 2

Determinar el Máximo Común Divisor de los números 8, 9  y 10.

Aun cuando sean más de dos números los elementos sobre los cuales se determinará el Máximo Común Divisor, el procedimiento es exactamente igual, es decir, se deben tomar los números que participan del ejercicio, se extraen sus divisores, y por último se comparan los Divisores, para así escoger cuál de ellos es el común y el mayor:

Divisores del 8:

8 : 1 = 8
8 : 2 = 4
8 : 4 = 2
8 : 8 = 1

Divisores del 9:

9 : 1 = 9
9 : 3 = 3
9 : 9 = 1

Divisores del 12

12 : 1 = 12
12 : 2 = 6
12 : 3 = 4
12 : 4 = 3
12 : 6 = 2
12 : 12  = 1

Se comparan entonces divisores:

D (8) = 8, 4, 2, 1
D (9) = 9, 3, 1
D (12) = 12, 6, 4, 3, 2, 1

Al hacerlo, se determina entonces que entre estos números el único divisor común es el 1. Por lo que entonces se toma como el Máximo Común Divisor de estos elementos. Este resultado, se expresa entonces de la siguiente forma:

M.C.D (8, 9, 12) = 1

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