Ejemplos de cómo reducir términos algebraicos semejantes

Definiciones fundamentales

En este sentido, resulta pertinente entonces abordar conceptos básicos que vengan a revelar en qué consiste el término algebraico, así como aquellos que son considerados como semejantes, y que constituyen la materia prima de la operación de reducción de términos algebraicos semejantes. A continuación, algunos de ellos:

Término algebraico

En primera instancia, se tiene entonces que el Término algebraico es visto por el Álgebra como una expresión algebraica elemental, compuesta por una combinación de elementos abstractos numéricos y no numéricos, entre los cuales sólo pueden ser posibles operaciones de multiplicación y división, quedando por fuera totalmente la posibilidad de que entre los números y letras que comprenden el término se puede realizar operaciones de suma o resta.

Igualmente, esta disciplina matemática considera al Término algebraico como una expresión algebraica compuesta por cuatro elementos esenciales: Signo (encargado de acompañar al número del término, para señalar su naturaleza); Coeficiente (constituido por el elemento numérico del término); Literal (conformado por las letras que sirven para representar cantidades desconocidas o por conocerse, por lo que también recibe el nombre de variable); y finalmente el  Grado (equivalente al exponente de mayor valor que pueda verse entre los literales del término. Algunos ejemplos de términos algebraicos pueden ser los siguientes:

2x²
7ab³
5xy
3a
6xyz²

Términos algebraicos semejantes

Así mismo, el Álgebra elemental distingue, según las características de sus elementos, entre varios tipos de términos algebraicos, siendo uno de ellos los términos algebraicos semejantes, los cuales son definidos como aquellos términos algebraicos en donde se puede encontrar total coincidencia en cada uno de los elementos que constituyen su literal (es decir, las variables y los exponentes a los que puedan encontrarse elevadas estas). En este sentido, se puede considerar como elementos semejantes los siguientes:

3xy  Y   5xy
2abc   Y    24abc
7b²  Y  b²
4xy²z   Y  4xy²z
8abc²  Y   19abc²

Reducción de Términos algebraicos semejantes

Por su parte, la Reducción de Términos algebraicos semejantes será una operación algebraica que se realice en expresiones algebraicas compuestas por un conjunto de varios términos algebraicos, identificados como semejantes (es decir, que coinciden de forma absoluta en sus numerales) y que se encuentre enfocada en lograr que dicha expresión alcance su forma más reducida o elemental. Para esto, una vez identificados los términos semejantes, se deberá proceder a realizar las operaciones que indiquen cada uno de sus signos, obteniendo un resultado, en base a sus coeficientes, que irá acompañado por el literal común a todos los términos.

Ejemplos de reducción de términos algebraicos semejantes

Sin embargo, la forma más eficaz de abordar la reducción de términos algebraicos semejantes es a través de ejemplos prácticos en donde pueda verse claramente los pasos involucrados en esta operación algebraica. A continuación, algunos de ellos:

Dado el término 5xy + 3xy + xy realizar una reducción de términos algebraicos semejantes

Para cumplir con la misión expresada en el postulado, se deberá revisar si en efecto los tres términos de la expresión algebraica pueden ser considerados semejantes. Al hacerlo, se puede observar que en efecto los tres coinciden en cuanto al literal xy por lo que son términos algebraicos semejantes. En aras de realizar una reducción, se deberá entonces realizar las operaciones establecidas entre sus coeficientes:

5xy + 3xy + xy =

Como el tercer término no cuenta con un coeficiente expresado claramente se asume que este es igual a la unidad.

De esta manera, la suma de coeficientes será:  5+3+1= 9

Por lo tanto, la reducción de términos algebraicos semejantes tendrá como resultado el siguiente:

5xy + 3xy + xy =   9xy

Dado el término 4ab² – 5ab² + 8ab²  ̶  3ab² realizar la reducción de términos semejantes

También puede ocurrir que no todos los términos involucrados, aun cuando semejantes, no sean de igual signo, por lo que para realizar la reducción exigida sea necesaria realizar también operaciones aritméticas, que permitan encontrar el coeficiente general. En este caso, una vez revisados los literales de todos los términos, y concluido que todos son iguales al literal ab²  es decir que son términos semejantes, se deberá resolver por un lado las operaciones planteadas en los términos positivos, y por otro aquellas inherentes a los términos negativos, a fin de restar posteriormente ambos resultados, obteniendo el coeficiente que tendrá el término obtenido en la reducción:

Términos positivos: 4ab² + 8ab² = 12ab²
Términos negativos: – 5ab²  ̶  3ab² =  -8ab²

Resta de términos positivos y negativos: 12ab² – 8ab² = 4ab²

Por ende, la reducción de términos semejantes de esta expresión puede ser expresada de la siguiente manera:

4ab² – 5ab² + 8ab²  ̶  3ab² = 4ab²

Dada la expresión 3ab² + 2ab² + 3c² + 4ab² realizar una reducción de términos semejantes

También puede suceder que la expresión algebraica sobre la que debe realizarse la reducción de términos semejantes presente dentro de ella términos no semejantes. No obstante, esto no indica que no pueda seguirse adelante con la operación de reducción, la cual se hará tomando en cuenta únicamente los términos que pueden identificarse como semejantes entre ellos. En este caso, se tendrán entonces los siguientes:

Términos semejantes→ 3ab² / 2ab² / 4ab²  (ya que todos cuentan con el literal ab²)
Términos no semejantes → 3c² (puesto que no coincide con el literal ab²)

En consecuencia, la reducción se hará tan solo con los términos que coinciden en el literal, para lo que se realizarán las operaciones planteadas entre ellos, sumando entonces sus coeficientes:

 3ab² + 2ab² + 4ab² =  3+2+4=  9ab²

Como el otro término no puede ser incluido en la operación de reducción, permanece igual. De esta forma, la reducción de esta expresión algebraica puede ser expuesta de la siguiente forma:

3ab² + 2ab² + 3c² + 4ab² =  9ab² + 3c²

Dada la expresión 5xy³ + 3xy³ + 12z² + 6z² + z² + 9xy³ realizar la reducción de términos semejantes

Así mismo, puede ocurrir que en una expresión se encuentren varios términos diferentes, por lo que la reducción de términos semejantes puede comenzar por agrupar aquellos que sean semejantes entre sí. En este caso, por ejemplo se pueden identificar dos literales: xy³  Y  z² por lo que para hacer la reducción habrá que agrupar y realizar las operaciones pertinentes en cada uno de los conjuntos de términos:

Aquellos términos que tienen el literal xy³: 
5xy³ + 3xy³ + 9xy³ = 17xy³

Aquellos términos que cuentan con el literal z²:
12z² + 6z² + z²= 19z²

Por lo tanto, se ha logrado la reducción de aquellos términos que resultaban semejantes entre sí, obteniéndose entonces el siguiente resultado:

5xy³ + 3xy³ + 12z² + 6z² + z² + 9xy³ = 17xy³ + 19z²

Dada la expresión 4xy² – 3z³ + 2z² + 5xy² – 2xy² + 3xy² + 6z³ – 2z³ + 4z² – 3z² hacer una reducción de términos semejantes

En este caso, se pueden observar varias circunstancias. En primer lugar, se distinguen al menos tres distintos literales: xy² / z³ / z². Así mismo, se pueden distinguir varios signos distintos, por lo que a la hora de hacer las operaciones destinadas a lograr la reducción de términos semejantes, se deberá comenzar por agrupas los términos, según la coincidencia entre sus literales, a fin también de poder ver cuáles son los signos y las operaciones que se plantean entre ellos:

Según el término xy²: 4xy² + 5xy² – 2xy² + 3xy²

Para resolver esta reducción, se deberán agrupar a su vez aquellos términos positivo y los negativos, para así sumar los términos de igual signo y restar posteriormente sus resultados, obteniendo así la reducción de aquellos términos que cuentan con el literal xy².
Positivos: 4xy² + 5xy²+ 3xy² = 12xy²
Negativos:  -2xy²
Total: 12xy² – 2xy²= 10xy²

Según el término z³:  -3z³ + 6z³ – 2z³

Igualmente, se deberán agrupar los términos según sus signos, para sumar aquellos de signos iguales, y luego restar los resultados:
Positivos: 6z³
Negativos: -3z³– 2z³= -5z³
Total: 6z³ -5z³= z³ (el coeficiente es igual a 1, pero por tradición no se expresa)

Según el término z²: 2z²  + 4z² – 3z²
Positivos: 2z²  + 4z²=  6z²
Negativos: -3z²
Total: 6z²-3z² = 3z²

Obtenida la reducción de los términos que respondían a cada uno de los literales identificados, la reducción de esta expresión puede expresarse entonces de la siguiente manera:

4xy² – 3z³ + 2z² + 5xy² – 2xy² + 3xy² + 6z³ – 2z³ + 4z² – 3z²  =  10xy² + z³+ 3z²

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