Ejemplos de ecuaciones equivalentes

Definiciones fundamentales

De esta forma, puede que también resulte conveniente delimitar esta explicación teórica a cuatro nociones específicas: Términos algebraicos, Igualdades, Ecuaciones y Ecuaciones equivalentes, por encontrarse directamente relacionadas con los ejemplos que se expondrán posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:

Términos algebraicos

Por consiguiente, se comenzará por decir que los Términos algebraicos han sido explicados entonces como expresiones matemáticas, conformadas por un elemento abstracto numérico y un elemento abstracto literal, entre los cuales se sostiene una operación de multiplicación, siendo esta la única operación matemática posible, entendiéndose entonces que quedan excluidas las operaciones de suma, resta o división. Algunos ejemplos de este tipo de términos serán los siguientes:

3x²
5ab
-4xyz³

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Así también, las Matemáticas han señalado que los Términos algebraicos se encuentran conformados por cuatro distintos elementos, cada uno de los cuales han sido explicados de la siguiente manera:

• Signo: en primer lugar, de izquierda a derecha, se encontrará el signo, el cual ha sido explicado entonces como el elemento cuya misión es revelar la naturaleza del término algebraico, es decir, si este es positivo o negativo. Sin embargo, también será necesario explicar cómo por convención, cuando el término algebraico es positivo, no se anota el signo más (+). No obstante, cuando el término es negativo, se debe anotar siempre el signo menos (-).
• Coeficiente: así mismo, después del Signo, se encuentra el Coeficiente, elemento del término algebraico, constituido por un elemento numérico, cuya misión específica es la de señalar cuál es la cantidad por la que debe multiplicarse entonces el literal, toda vez que asuma un valor específico.
• Literal: de igual forma, en el Término algebraico se encontrará el Literal, elemento este que se encuentra constituido por una letra, la cual puede asumir un valor numérico específico, en un momento determinado. Por lo general, la tradición sugiere usar para los literales las letras a, b y c. No obstante, cuando el literal constituye una incógnita, entonces se usan las letras x, y o z.
• Grado: determinado por el valor al que se encuentra elevado el exponente.

Igualdades

En segunda instancia, será también necesario tomar un momento para abordar el concepto de Igualdades, las cuales han sido explicadas como la relación que existe entre dos entidades o elementos, que resultan iguales. Así mismo, la disciplina matemática señala que el signo para expresar esta relación será el signo igual (=).

De igual forma, la disciplina matemática asume que las igualdades se encuentran conformadas por dos distintos miembros, explicados entonces de la siguiente forma:

• Primer miembro: se refiere a la parte de la igualdad que se encuentra dispuesto de forma anterior al signo igual.
• Segundo miembro: por su lado, este elemento se encontrará situado después del signo igual.

Además, los diferentes autores han indicado también que se pueden hablar de dos distintos tipos de igualdades:

• Igualdades numéricas: las cuales se establecen entre elementos necesariamente numéricas.
• Igualdades literales: cuando la igualdad se establece entre elementos, que aun cuando pueden contener elementos numéricos, cuentan también con elementos literales.

Ecuaciones

Así mismo, será menester centrar la atención en el concepto de Ecuaciones, las cuales han sido explicadas entonces como la Igualdad literal, en donde se cumple que el valor del literal debe responder a uno solo, para que la relación se establezca. Un ejemplo de este tipo de operaciones será el siguiente:

x – 5 = 3

Si se tuviera esta igualdad literal, y se quisiera comprobar si se cumple con uno solo valor o no, entonces se tendría que probar con reemplazar el literal con distintos valores:

3 – 5 = 3 → -2 ≠ 3
10 – 5 = 3 → 5 ≠ 3
9 – 5 = 3 → 4 ≠ 3
8 – 5 = 3 → 3 = 3

Al hacerlo, se puede observar entonces cómo esta relación de igualdad sólo se cumple cuando el valor de x es igual a 8. Al ser una igualdad literal que solo funciona con un valor determinado de la literal, entonces la igualdad se considera una Ecuación.

Ecuaciones equivalentes

Por último, también será necesario tener un momento para explicar cuál es el concepto de Ecuaciones equivalentes, las cuales han sido explicadas entonces como aquellas igualdades literales que cuentan con la misma solución, independientemente de los términos o forma con las que cuenten. Ergo, las Ecuaciones literales serán ecuaciones que coinciden por completo en cuanto a sus soluciones.

Ejemplos de Ecuaciones literales

Una vez se han revisado cada una de estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar un ejemplo sobre Ecuaciones equivalentes, tal como el que se muestra a continuación:

Si se tuvieran las siguientes ecuaciones:

2x = 12 – 2
15 – x = 10
3x – 5 = 5 + 5

Y se quisiera comprobar si son equivalentes o no, bastaría entonces con resolver cada igualdad, a fin de hallar sus soluciones:

2x = 12 – 2 → 2x = 10 → x = 10 : 2 → x = 5
5 + x = 10 → x = 10 – 5 → x = 5
3x – 5 = 5 + 5 → 3x – 5 = 10 → x = 10 + 5 : 3 → x = 15 : 3 → x = 5

Una vez se ha solucionado cada una de estas ecuaciones, se encuentra que todas coinciden entre sí con respecto a sus respectivas soluciones, por lo que se puede concluir que se tratan de Ecuaciones equivalentes.

Por el contrario, si se tuvieran las siguientes expresiones:

x² = 4
2 + x = 4

Y se resolviera cada una de ellas, para determinar si se tratan de ecuaciones equivalentes o no, se encontraría que en el primer caso, la ecuación puede tener dos distintas soluciones:

x² = 4 →  2² = 4  y  -2² = 4

Mientras que la segunda ecuación tiene tan solo una solución posible

2 + x = 4 → x = 4 – 2 → x = 2

Por ende, como estas ecuaciones no cuentan con soluciones exactamente iguales, entonces no se pueden considerar ecuaciones equivalentes.

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