Ejemplos de identidad de Legendre (Suma)

Definiciones fundamentales

Así mismo, se tomará la decisión de delimitar esta revisión teórica a cuatro nociones específicas: Binomios, Binomios conjugados, Identidades notables e Identidad de Legendre para la suma, por encontrarse directamente relacionadas con los ejemplos que se estudiarán posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:

Los binomios

En primer lugar, comenzará por señalarse que los Binomios han sido explicados, por las distintas fuentes, como una clase de expresión algebraica, conformada por la suma o la resta de dos monomios, es decir, dos términos algebraicos, que se constituyen en base a la multiplicación entre un elemento numérico y un elemento literal.

Por consiguiente, existen autores que explican los binomios también como un polinomio de dos términos. Algunos ejemplos de esta clase de expresión serían los siguientes:

2x – y =
3x⁴ + z =
a + b =

Binomios conjugados

Por otra parte, también será necesario pasar revista sobre el concepto de Binomios conjugados, los cuales será vistos en primera instancia como uno de los distintos casos de relación entre Binomios que pueden existir.

De forma mucho más específica, los Binomios conjugados han sido explicados como un par de binomios –polinomios de dos términos- que coinciden por completo en sus términos, pero que no lo hacen con respecto a sus signos, puesto que tienen signos contrarios. Es decir, que mientras un binomio establece una suma entre sus términos, el otro sostiene una resta. Un ejemplo de este tipo de expresiones será el siguiente:

3x – 4  / 3x + 4
x² + y / x² – 4
a + b / a – b

Identidades notables

Así mismo, será necesario traer a capítulo el concepto de Identidades notables, las cuales han sido explicadas como un conjunto de normas o fórmulas matemáticas, que tienen como objetivo la factorización de polinomios, es decir, el proceso por medio del cual se toma un polinomio, y se logra expresar como un producto.

Por igual, las identidades notables son reconocidas como fórmulas que producen que la multiplicación de polinomios se produzca de forma directa, lo que trae como consecuencia tanto un ahorro en el tiempo invertido en el ejercicio, como la reducción de la posibilidad de cometer errores. Las identidades notables hacen parte de los productos notables.

Identidad de Legendre para la suma

Por último, también será necesario tomar un momento para lanzar luces sobre la definición de Identidad de Legendre, la cual ha sido explicada entonces como uno de los distintos tipos de identidades notables, que se pueden encontrar en el caso de factorización de polinomios.

Así mismo, la Identidad de Legendre puede presentar dos posibles casos, siendo uno de ellos la aplicación de ella cuando los polinomios conjugados establecen entre ellos una operación de suma. En este caso, esta Ley matemática señala que la factorización de esta clase o caso de binomios conjugados al cuadrado será igual al doble de la suma de los cuadrados de ambos términos. Esta identidad notable puede expresarse entonces de la siguiente manera:

(a + b)² + (a – b)² = 2(a² + b²)

Ejemplos de Identidad de Legendre para la suma

Toda vez se han revisado cada una de estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo tomar un momento para tener en cuenta algunos ejemplos, que permitan ver de forma concreta cómo se debe resolver todo ejercicio que plantee la factorización de dos binomios conjugados entre los que suceda una suma. A continuación, los siguientes ejercicios:

Ejemplo 1

Factorizar los siguientes binomios:

(3x + y)² + (3x – y)² =

Ante este ejercicio, lo primero que deberá hacerse es revisar los términos sobre los que se produce la suma. Al hacerlo se precisa que se trata de la suma de dos binomios cuadrados conjugados. En consecuencia, en este caso, se puede aplicar la Identidad de Legendre para la suma.

Para esto, lo primero que se hará será recordar la fórmula que implica esta identidad notable cuando los binomios cuadrados conjugados se suman:

(a + b)² + (a – b)² = 2(a² + b²)

Y luego, se procederá aplicarla directamente en los polinomios a factorizar:

(3x + y)² + (3x – y)² = 2 [(3x)² + (y)²

Se resuelven entonces las operaciones surgidas:

2 [(3x)² + (y)²=  2[9x² + y²

2[9x² + y² = 18x² + 2y²

Por último, se expresa entonces el resultado del ejercicio:

(3x + y)² + (3x – y)² = 18x² + 2y²

Ejemplo 2

Factorizar los siguientes binomios:

(x + 5)² + (x – 5)² =

En este caso, también se deberá iniciar revisando la naturaleza de los elementos que deben factorizarse. Al hacerlo, se descubre que se trata de dos binomios cuadrados conjugados, entre los que se establece una operación de suma. Entre las opciones de resolución que existen para este ejercicio, se encuentra la aplicación de la Identidad de Legendre.

Se comienza entonces aplicando la fórmula: (a + b)² + (a – b)² = 2(a² + b²) al ejercicio:

(x + 5)² + (x – 5)² = 2(x² + 5²)

Así mismo, se le da solución entonces a las operaciones que han surgido:

2(x² + 5²) = 2(x² + 25)

2(x² + 25) = 2x² + 50

Por último, se expresa entonces el resultado obtenido:

(x + 5)² + (x – 5)² = 2x² + 50

Ejemplo 3

Factorizar los siguientes binomios:

(x + 1)² + (x – 1)² =

Igualmente, una vez se ha precisado que se trata de la factorización de dos binomios cuadrados conjugados, entre los que se establece una suma, se decide proceder con la aplicación de la Identidad de Legendre para la suma:

(x + 1)² + (x – 1)² = 2(x² + 1²)

2(x² + 1²)= 2x² + 2

Por último, se expresa el resultado obtenido:

(x + 1)² + (x – 1)² = 2x² + 2

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