Ejemplos de Ley de absorción en la Unión de conjuntos

En el ámbito del Álgebra de Conjuntos, se conoce con el nombre de Ley de Absorción a una propiedad matemática, inherente a las operaciones de Unión e Intersección de conjuntos, la cual reza que la Unión de un conjunto A con la intercección del conjunto A y B es equivalente al propio conjunto A, el cual a su vez es igual a la intersección de este conjunto A con la unión de A y B:  A ∪ (A ∩ B) =  A  =  A ∩ (A ∪ B).

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Operaciones fundamentales

Sin embargo, antes de avanzar sobre los casos que pueden servir de ejemplo a la Ley de Absorción, tal vez lo mejor sea revisar las definiciones de las operaciones, en base a la cual se da esta propiedad matemática. A continuación, los conceptos:

Unión de conjuntos

En este sentido, se debe comenzar por decir entonces que la Unión de conjuntos ha sido definida por el Álgebra de Conjuntos como una operación básica, por medio de la cual dos o más conjuntos se unen, dando origen a un conjunto en donde puede hallarse presencia de todos y cada uno de los elementos que podían encontrase originalmente en los conjuntos que participan de la operación. En cuanto a su notación, esta disciplina matemática ha señalado que el signo de unión es ∪, mientras que la operación puede ser expresada de forma matemática de la siguiente manera:

A ∪ B ∪ C = │A│ + │B│ + │C│

Intersección de conjuntos

Por otro lado, el Álgebra de Conjuntos también se ha dado a la tarea de definir la Intersección de conjuntos, la cual es concebida como una operación básica, en donde dos o más conjuntos establecen una intersección entre sí, a fin de originar un conjunto adicional, el cual estará conformado por aquellos elementos comunes en todos los conjuntos que han participado de esta operación. El signo que indica esta operación es ∩, mientras que su forma de expresarse matemáticamente será esta:

A ∩ B=

Ejemplos de la Ley de Absorción (Unión de conjuntos)

Teniendo presente estas definiciones, será mucho más fácil entender las operaciones inherentes a esta Ley matemática, las cuales además deberían ser llevadas a la práctica, a través de ejemplos concretos, cuya exposición permita ver lo que dicta la teoría. A continuación, algunos de ellos:

Ejemplo 1

Dado un conjunto A, conformado por instrumentos musicales de cuerda: A= {Arpa, Piano, Violín, Viola} y un conjunto B, constituido por instrumentos musicales cuyos nombres empiecen por “v”: B= {Viola, Violín, Violonchelo, Vibráfono} comprobar la Ley de Absorción en la Unión de conjuntos:

 Para cumplir con este postulado, será necesario realizar las distintas operaciones que pueden encontrarse en la expresión matemática de la Ley de Absorción:

A= {Arpa, Piano, Violín, Viola}
B= {Viola, Violín, Violonchelo, Vibráfono}

A ∪ (A ∩ B) =  A  =  A ∩ (A ∪ B)

A ∪ (A ∩ B) =  {Arpa, Piano, Violín, Viola} ∪ {Violín, Viola}
A ∪ (A ∩ B) =  {Arpa, Piano, Violín, Viola}
A ∩ (A ∪ B) = {Cuatro, Arpa, Piano, Violín, Viola} ∩ {Cuatro, Arpa, Piano, Violín, Viola, Violonchelo, Vibráfono}
A ∩ (A ∪ B) = {Arpa, Piano, Violín, Viola}

{Arpa, Piano, Violín, Viola} = {Arpa, Piano, Violín, Viola} = {Arpa, Piano, Violín, Viola}

Al revisar los resultados, puede comprobarse que las equivalencias que señala la Ley de absorción se cumplen totalmente, por lo que esta propiedad queda comprobada.

Ejemplo 2

Dado un conjunto A, conformado por una lista de colores, cuyos nombres comiencen por la letra “r”: A= {Rojo, Rosado, Rubí, Rubio} y un conjunto B, en donde se puedan contar como elementos, colores cálidos: B= {Rojo, Rubí, Anaranjado, Amarillo} comprobar si son ciertas las equivalencias planteadas en la Ley de Absorción:

Con el fin de dar cumplimiento a esta exigencia, se procederá entonces a realizar cada una de las operaciones de Unión e Intersección que se encuentran incluidas en la siguiente expresión: A ∪ (A ∩ B) =  A  =  A ∩ (A ∪ B).

A= {Rojo, Rosado, Rubí, Rubio}
B= {Rojo, Rubí, Anaranjado, Amarillo}

A ∪ (A ∩ B) =  A  =  A ∩ (A ∪ B)

A ∪ (A ∩ B) =  {Rojo, Rosado, Rubí, Rubio} ∪ {Rojo, Rubí}
A ∪ (A ∩ B) = {Rojo, Rosado, Rubí, Rubio}

A ∩ (A ∪ B)= {Rojo, Rosado, Rubí, Rubio} ∩ {Rojo, Rosado, Rubí, Rubio, Anaranjado, Amarillo}
A ∩ (A ∪ B)= {Rojo, Rosado, Rubí, Rubio}

{Rojo, Rosado, Rubí, Rubio} = {Rojo, Rosado, Rubí, Rubio} = {Rojo, Rosado, Rubí, Rubio}

Ejemplo 3

Dado un conjunto A, conformado por animales mamíferos: A= {León, Leopardo, Perro, Gato, Cebra, Vaca} y un conjunto B, constituido por animales cuyo nombre comience por la letra “l”: B= {Loro, León, Leopardo, Lapa, Lechuza, Lémur, Lobo, Langosta} comprobar la Ley de absorción:

A fin de dar cumplimiento a este requerimiento, se deberán resolver las distintas operaciones, que pueden encontrarse en la expresión: A ∪ (A ∩ B) =  A  =  A ∩ (A ∪ B).

A= {León, Leopardo, Perro, Gato, Cebra, Vaca}
B= {Loro, León, Leopardo, Lapa, Lechuza, Lémur, Lobo, Langosta}

A ∪ (A ∩ B) =  A  =  A ∩ (A ∪ B)

A ∪ (A ∩ B) =  {León, Leopardo, Perro, Gato, Cebra, Vaca} ∪ {León, Leopardo}
A ∪ (A ∩ B) = {León, Leopardo, Perro, Gato, Cebra, Vaca}

A ∩ (A ∪ B) =  {León, Leopardo, Perro, Gato, Cebra, Vaca} ∩ {León, Leopardo, Perro, Gato, Cebra, Vaca, Loro, Lapa, Lechuza, Lémur, Lobo, Langosta}
A ∩ (A ∪ B) = {León, Leopardo, Perro, Gato, Cebra, Vaca}

{León, Leopardo, Perro, Gato, Cebra, Vaca} = {León, Leopardo, Perro, Gato, Cebra, Vaca}= {León, Leopardo, Perro, Gato, Cebra, Vaca}

Se han comprobado que las equivalencias que plantea la expresión A ∪ (A ∩ B) =  A  =  A ∩ (A ∪ B) son totalmente ciertas, por lo que se puede considerar igualmente comprobada la Ley de Absorción.

Imagen: pixabay.com

Ejemplos de Ley de absorción en la Unión de conjuntos
junio 21, 2017

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