Ejemplos de monomios homogéneos

Monomio

Por consiguiente, la primera definición que viene a bien analizar será la de Monomio, expresión algebraica elemental, la cual es concebida por esta disciplina matemática como una combinación de números y letras, entre las cuales no son posibles operaciones de suma, resta o división, siendo entonces las únicas operaciones permitidas, la multiplicación ocurrida entre el número y la letra, así como la de la potenciación, planteada entre el literal y su exponente, el cual debe cumplir además con la condición sine qua non de estar conformada por un número entero y positivo, incluido el cero (0).

Grado del monomio

Por otro lado, el Álgebra elemental también se ha dado a la tarea de definir cada uno de los cuatro elementos esenciales (signo, coeficiente, literal y grado) que conforman el monomio. Entre las definiciones que ha promulgado, se encuentra la del Grado del monomio, el cual además de ser identificado como un elemento del monomio, se señala constituido por el exponente al que se encuentra elevado el literal, el cual además de determinar en base a su naturaleza entera y positiva que la expresión algebraica es un monomio, sirve como elemento guía a la hora de establecer clasificaciones en base al grado (monomio de primer grado, monomio de segundo grado, etc.) así como para establecer relaciones de diferencias y semejanzas entre monomios.

Tipos de grados del monomio

Sin embargo, no siempre se cuenta con monomios de una sola variable, en donde determinar el Grado no resulta tan sencillo como simplemente reparar en el exponente de la única variable, sino en donde tienen cabida operaciones un poco más complejas, e incluso la existencia de dos distintos tipos de grados, cuya principal diferencia es el enfoque con el que asume el monomio. No obstante, lo mejor es también revisar brevemente cada una de sus definiciones, tal como se muestra a continuación:

• Grado relativo: es el tipo de grado que se origina de una visión parcial del monomio, y que toma en cuenta únicamente el exponente de la variable que se escoge como guía.
• Grado absoluto: por su parte, el Grado absoluto plantea una visión global del monomio, siendo el resultado de la suma de cada uno de los exponentes a los que se encuentran elevados los literales del monomio.

Ejemplos de Monomios homogéneos

Revisadas estas definiciones, será entonces mucho más sencillo comprender la definición de Monomios homogéneos, concebidos como aquellos monomios que coinciden entre sí en cuanto a su Grado absoluto, así como los ejemplos que se desprenden de esta definición, y que se muestran a continuación:

Dados los términos 4xy   Y   5x²  determinar si son monomios homogéneos

Lo primero que deberá hacerse, para cumplir con la exigencia requerida, es revisar los exponentes de los literales de cada término, a fin de revisar si en efecto ambos términos pueden ser considerados monomios. Por consiguiente, se tiene que el primer término cuenta con los exponentes 1  Y  1, es decir, dos números enteros y positivos, por lo que esta primera expresión puede ser considerada un monomio. En cuanto al segundo término, cuenta con una sola variable, de grado dos, número positivo y entero, por lo que también es un monomio. Aclarado esto, se debe entonces continuar con la tarea de definir si además de monomios, pueden ser considerados monomios homogéneos, para la cual habrá que determinar el grado absoluto de cada monomio, tal como se muestra a continuación:

4xy → 1+1= 2
5x² →  2

Se puede observar que ambos monomios cuentan con grados absolutos iguales a 2, por lo que se concluye entonces que se trata de monomios homogéneos.

Dados los términos 3x^-2  Y  2xy  analizar si son monomios homogéneos

Nuevamente, se debe comenzar por observar los exponentes a los que se encuentran elevados los literales de cada expresión algebraica, a fin de determinar si ambos son o no monomios. En este caso, al analizar el exponente del primer término se puede ver que es equivalente a -2, número negativo, por lo que la expresión no se puede considerar un monomio, así como ambos términos no podrían tampoco considerarse monomios homogéneos. Sin embargo, aún puede determinarse sus grados absolutos, a través de la suma de los exponentes de cada expresión:

3x^-2  → -2

2xy  →  2

Al hacerlo, se puede ver cómo los términos algebraicos tampoco coinciden en cuanto a su grado absoluto, por lo que tampoco se puede afirmar que sean términos algebraicos homogéneos. De hecho, ambas expresiones pueden ser entendidas como términos algebraicos heterogéneos.

Dados los términos 2a²bc   Y   5a²bc determinar si son monomios homogéneos

Igualmente, se analizarán los exponentes de cada uno de los literales de los términos, a fin de analizar en primera instancia si se tratan de monomios o no. En este sentido, se tienen que el primer término cuenta con los exponentes 2, 1 Y 1, números enteros y positivos, por lo que puede ser considerado un monomio. El segundo término por su parte cuenta también con los exponente 2, 1 Y 1, por lo que igualmente es considerado un monomio. Así mismo, al revisar un poco más de cerca ambos monomios, puede observarse que estos coinciden en cada uno de sus literales y de los exponentes a los que se encuentran elevados, por lo que en primer lugar pueden ser considerados monomios semejantes. Por ende, al contar con iguales exponentes, se puede concluir que tendrán iguales grados absolutos, por lo que también pueden considerarse monomios homogéneos.

Dados los monomios 8xyz²  Y   4y²z² determinar si son monomios homogéneos

Al revisar estos términos, se puede observar que ambos cuentan con exponentes enteros y positivo, por lo que realmente son monomios, tal como lo indica el postulado. El segundo paso a seguir, será entonces calcular el grado absoluto de cada uno de estos monomios:

8xyz² → 1+1+2= 4

4y²z² → 2+2=4

Se concluye entonces, que aun cuando no coinciden plenamente en cada uno de sus literales, ambos monomios cuentan con el grado absoluto 4, por lo que pueden ser efectivamente considerados monomios homogéneos.

Imagen: flickr.com