Ejemplos de polinomios semejantes

Diferencias con los polinomios iguales

Por consiguiente, los polinomios semejantes se diferenciarían principalmente de los polinomios iguales, puesto que mientras estos últimos implican una coincidencia total de cada uno de los elementos de los polinomios (es decir, coeficientes, variables, grados y términos independientes) en los polinomios semejantes dicha igualdad sólo debe existir entre las variables y los grados, por lo que dos polinomios que coincidan en cuanto a esos elementos, pueden tener coeficientes y términos independientes distintos, y aun así seguir siendo considerados como polinomios semejantes.

Definiciones fundamentales

Sin embargo, es probable que antes de avanzar sobre los casos que pueden servir de ejemplo sobre este tipo polinomios, sea importante recordar algunas definiciones esenciales para comprender la naturaleza de este tipo de expresiones, así como los elementos que la conforman. A continuación, algunas de ellas:

Polinomio

En este sentido, puede ser que la primera definición que deba abordarse sea la del propio polinomio, el cual es entendido por el Álgebra elemental como una expresión algebraica compleja, hecha en base a un conjunto de monomios, entre los que se establecen operaciones de suma, resta, multiplicación, y en ningún caso de división. Así mismo, al estar conformada por monomios, se sobreentiende que además de los coeficientes y variables, el polinomio contará con exponentes –a las que se encuentran elevados los literales- que serán en todo momento números enteros y positivos.

Elementos del polinomio

Igualmente, es conveniente recordar que el Álgebra elemental también ha indicado que los polinomios pueden considerarse como expresiones conformadas por cuatro elementos esenciales, cada uno de los cuales puede definirse a su vez de la siguiente forma:

• Términos: nombre que reciben cada uno de los sumandos del polinomio, por lo que dentro de esta categoría se pueden incluir tanto los monomios como los términos independientes.
• Coeficientes: así mismo, los coeficientes serán aquellos números que acompañan a la variable, estableciendo con ella una operación de multiplicación.
• Términos independientes: por el contrario, los términos independientes serán aquellos que no cuenten con presencia de ninguna variable. Se asumirá que cuentan con el grado igual a cero (0).
• Grado: es el elemento del polinomio que se encuentra constituido por el valor del máximo grado que pueda encontrarse en uno de sus términos.

Ejemplos de polinomios semejantes

Sin embargo, la forma más eficiente de entender estas definiciones, quizás sea su puesta en práctica, a través de algunos ejemplos, como los que se muestran a continuación:

Dado los polinomios P_(x)= 4x – 5 + 2x² – 8x⁴  Y  Q_(x) = 7 – x + 4x⁴ – 32x² determinar si se trata de polinomios semejantes

Ante estos dos polinomios, lo primero que puede observarse es que cada uno de ellos es un polinomio de una sola variable. Así mismo, se concluye que se encuentran desordenados, y que su ordenamiento es la operación que debe cumplirse, a fin de poder examinar, ubicados en la misma posición cada uno de sus términos:

P_(x)= 4x – 5 + 2x² – 8x⁴   →  P_(x)= – 8x⁴ + 2x² + 4x – 5
Q_(x) = 7 – x + 4x⁴ – 32x² →  Q_(x) = 4x⁴– 32x²– x +  7

Una vez  organizados ambos términos, se entran a revisar cada una de sus variables y grados. En este caso hay total coincidencia de estos elementos, y como por otro lado no coinciden sus coeficientes ni sus términos independientes, se puede decir entonces que se trata de polinomios semejantes.

Dados los polinomios P_(x,y)=  xy – 4x²y + y⁵ – x³y² + 5   Y   Q_(x,y) = 4 – 2x²y + 8x³y² – 6y⁵ + 4xy determinar si se trata de polinomios de semejantes

Por su parte, estos polinomios son de más de una variable. Sin embargo, en aras de determinar su semejanza con otros polinomios, las variables se tomarán completas como un solo elemento, es decir, el literal del término. Igualmente, puede observarse que ambas expresiones algebraicas se encuentran desordenadas, por lo que se debe proceder a propiciar su ordenamiento:

P_(x,y)=  xy – 4x²y + y⁵ – x³y² + 5 → P_(x,y)=  y⁵– x³y² – 4x²y + xy  + 5
Q_(x,y) = 4 – 2x²y + 8x³y² – 6y⁵ + 4xy →  Q_(x,y) = – 6y⁵+ 8x³y² – 2x²y + 4xy + 4

Al revisar y comparar cada uno de los términos de ambos polinomios, se puede ver cómo estos coinciden en cuanto a sus literales, y siendo sus coeficientes y términos independientes diferentes, se asume entonces que se trata de términos semejantes.

Otros casos, que bien se encontraban ordenados en su forma original, o fueron ordenados posteriormente, y que pueden servir de ejemplo a este tipo de polinomios son los siguientes:

P_(x) = 5x⁴ – 3x² + 7   Y   Q_(x)=  x⁴ + 8x² – 1

P(a) =  4a3 – a2      Y   Q(a)=  17a3 + 8a2

P_(x)= 7x⁵ + x⁴ – x³ + 4   Y   Q_(x)= 8x⁵ – 3x⁴  ̶  8x³ + 3

P _(x,y)=  xy³ + 3y³ + xy    Y  Q_(x,y)=  8xy³ – 4y³ – 5xy

P_(x,y,z) =  8xyz² – 5xyz + 6x² + 6    Y   Q_(x,y,z) = 9xyz² – xyz + x² – 8

P_(a) =  a⁵ – 8a³ + a² – 2   Y   Q_(a)= 3a⁵ + a³ – 2a² – 24

P_(a,b,c) =  abc³ – 2abc + 42       Y     Q_(a,b,c) =   3abc³ + 5abc – 4

P_(x)=  5x² – x + 4   Y  Q_(x)=  8x² + 7x – 3   Y   R_(x)=  9x² – 4x + 2

P_(x) =  3x – 4  Y   Q_(x)=  2x + 4

P_(x) =  x² + 4   Y   Q_(x)=  3x² – 1   Y   R_(x) =  2x² + 2

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