Ejemplos de Propiedad asociativa en la Unión de conjuntos

Dentro del Álgebra de Conjuntos, se entiende como Propiedad Asociativa de la Unión de Conjuntos, a una Ley matemática que tiene lugar en esta operación, la cual indica que en una operación de Unión de conjuntos, en donde participen más de tres objetos, las asociaciones que se establezcan entre ellos, no altera en lo más mínimo el resultado de la operación: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

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Definición de Unión de Conjuntos

Sin embargo, antes de avanzar sobre los distintos casos que pueden servir de ejemplo a este tipo de Propiedad, quizás sea necesario revisar el propio concepto de la operación en donde tiene lugar, es decir, la Unión de Conjuntos, la cual es concebida a su vez como una operación básica del Álgebra de Conjuntos, en donde dos o más conjuntos se unen, dando como resultado un conjunto, en donde pueden contarse el total de elementos, que se encuentra en cada uno de las colecciones que han participado de la operación. Igualmente, el Álgebra de Conjuntos ha señalado que esta operación se encuentra indicada por el signo ∪, mientras que su expresión matemática puede tomar la siguiente forma:

A ∪ B ∪ C = │A│ + │B│ + │C│

Ejemplos de Propiedad Asociativa (Unión de Conjuntos)

Con estas definiciones presentes, quizás sea mucho más sencillo comprender las distintas operaciones que se expondrán a continuación, y que pueden ser consideradas como ejemplos de cómo se puede cumplir esta propiedad en la operación de Unión de Conjuntos. A continuación, algunos de los casos:

Ejemplo 1

Dado un conjunto A, constituido por instrumentos musicales de percusión: A= {Batería, Tambor, Bongó, Timbales}; un conjunto B, conformado por instrumentos musicales de viento:  B= {Trompeta, Trombón, Flauta, Clarinete}; y un conjunto C, en donde pueden contarse como elementos instrumentos musicales de cuerda: C= {Guitarra, Violín, Viola, Cuatro} comprobar si, en la operación de Unión de conjuntos, ocurre realmente la Propiedad Asociativa.

Para cumplir con lo solicitado en este postulado, será necesario entonces realizar la operación, bajo al menos dos tipos de asociaciones posibles, a fin de probar si el resultado sufre alguna alteración, o sencillamente se pueden asociar indistintamente los conjuntos, tal como reza esta Ley:

A= {Batería, Tambor, Bongó, Timbales}
B= {Trompeta, Trombón, Flauta, Clarinete}
C= {Guitarra, Violín, Viola, Cuatro}

Primera asociación posible: (A ∪ B) ∪ C =

(A ∪ B) ∪ C = {Batería, Tambor, Bongó, Timbales, Batería, Tambor, Bongó, Timbales} ∪ {Guitarra, Violín, Viola, Cuatro}

(A ∪ B) ∪ C = {Batería, Tambor, Bongó, Timbales, Batería, Tambor, Bongó, Timbales, Guitarra, Violín, Viola, Cuatro}

Segunda forma de asociación: A ∪ (B ∪ C)=

A ∪ (B ∪ C)= {Batería, Tambor, Bongó, Timbales} ∪ {Trompeta, Trombón, Flauta, Clarinete, Guitarra, Violín, Viola, Cuatro}

A ∪ (B ∪ C)= {Batería, Tambor, Bongó, Timbales, Trompeta, Trombón, Flauta, Clarinete, Guitarra, Violín, Viola, Cuatro}

Al contar con iguales elementos, aun cuando se presente en distinta disposición, se puede comprobar entonces que realmente (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), es decir, que se cumple la Propiedad Asociativa en la Unión de Conjuntos.

Ejemplo 2

Dado un conjunto A, en donde puedan contarse como elementos colores cuyo nombre empiece por la letra “m”:  A = {Morado, Marrón, Marfil, Mostaza}; un conjunto B, constituido por colores con nombres que comiencen por la letra “p”:  B= {Piel, Púrpura, Perla, Plateado}; un conjunto C, que esté compuesto por colores cuyo nombre empieza por la letra “l”: C={Lila, Ladrillo, Limón, Lavanda}, y finalmente un conjunto D, que agrupe colores, cuyo nombre comiencen por la letra “b”: D= {Beige, Blanco, Borgoña, Bermellón} puede realizarse un ejercicio que tenga como objetivo demostrar que existe la Propiedad Asociativa en la Unión de Conjuntos.

En este caso, igualmente, se deberán resolver distintas formas de asociación, para así poder comparar finalmente los conjuntos que se vayan dando, de modo de comprobar si realmente estas asociaciones alteran o no el resultado de la operación de Unión:

A = {Morado, Marrón, Marfil, Mostaza}
B= {Piel, Púrpura, Perla, Plateado}
C= {Lila, Ladrillo, Limón, Lavanda}
D= {Beige, Blanco, Borgoña, Bermellón}

Primera forma de asociación: (A ∪ B) ∪ C ∪ D=

(A ∪ B) ∪ C ∪ D= {Morado, Marrón, Marfil, Mostaza, Piel, Púrpura, Perla, Plateado} ∪ {Lila, Ladrillo, Limón, Lavanda} ∪ {Beige, Blanco, Borgoña, Bermellón}

(A ∪ B) ∪ C ∪ D= {Morado, Marrón, Marfil, Mostaza, Piel, Púrpura, Perla, Plateado, Lila, Ladrillo, Limón, Lavanda, Beige, Blanco, Borgoña, Bermellón}

 

Segunda forma de asociación: A ∪ (B∪ C)  ∪ D=

A ∪ (B∪ C)  ∪ D= {Morado, Marrón, Marfil, Mostaza} ∪ {Piel, Púrpura, Perla, Plateado, Lila, Ladrillo, Limón, Lavanda} ∪ {Beige, Blanco, Borgoña, Bermellón}
A ∪ (B∪ C)  ∪ D= {Morado, Marrón, Marfil, Mostaza, Piel, Púrpura, Perla, Plateado, Lila, Ladrillo, Limón, Lavanda, Beige, Blanco, Borgoña, Bermellón}

 

Tercera forma de asociación: A ∪ B∪ (C  ∪ D)=

A ∪ B ∪ (C  ∪ D)= {Morado, Marrón, Marfil, Mostaza} ∪ {Piel, Púrpura, Perla, Plateado} ∪ {Lila, Ladrillo, Limón, Lavanda, Beige, Blanco, Borgoña, Bermellón}
A ∪ B ∪ (C  ∪ D)= {Morado, Marrón, Marfil, Mostaza, Piel, Púrpura, Perla, Plateado, Lila, Ladrillo, Limón, Lavanda, Beige, Blanco, Borgoña, Bermellón}

Al revisar los resultados de cada una de las asociaciones que han tenido lugar en las operaciones de Unión de conjuntos, se puede llegar a la conclusión que los tres tipos posible de asociación llevan al mismo conjunto, es decir que la Propiedad Asociativa se cumple en la Unión de Conjuntos, por ende:

(A ∪ B) ∪ C ∪ D= A ∪ (B∪ C)  ∪ D= A ∪ B∪ (C  ∪ D)

Ejemplo 3

Dado un conjunto A, conformado por árboles frutales: A= {Aguacate, Higo, Manzano, Naranjo, Peral}; un conjunto B, en donde puedan contarse árboles ornamentales: B= {Coníferas, Helechos, Trepadoras, Bambú} y finalmente un conjunto C, que pueda agrupar los árboles en general: C= {Araguaney, Olivo, Aguacate, Roble} comprobar si en efecto la operación de Unión de conjuntos que pueden darse entre ellos, responde realmente a la Propiedad Asociativa.

Para esto, se deberá igualmente, resolver las distintas operaciones de unión, según las asociaciones que pueden plantearse. Así mismo, es importante recordar en este caso, que según la norma, en una operación de Unión, cuando un elemento aparece en dos conjuntos, se nombra una sola vez en el conjunto resultante:

A= {Aguacate, Higo, Manzano, Naranjo, Peral}
B= {Coníferas, Helechos, Trepadoras, Bambú}
C= {Araguaney, Olivo, Aguacate, Roble}

Primera forma de asociación: (A ∪ B) ∪ C

(A ∪ B) ∪ C = {Aguacate, Higo, Manzano, Naranjo, Peral, Coníferas, Helechos, Trepadoras, Bambú} ∪ {Araguaney, Olivo, Aguacate, Roble}

(A ∪ B) ∪ C = {Aguacate, Higo, Manzano, Naranjo, Peral, Coníferas, Helechos, Trepadoras, Bambú, Araguaney, Olivo, Roble}

 

Segunda forma de asociación: A ∪ (B∪ C)

A ∪ (B∪ C)= {Aguacate, Higo, Manzano, Naranjo, Peral} ∪ {Coníferas, Helechos, Trepadoras, Bambú, Araguaney, Olivo, Aguacate, Roble}

A ∪ (B∪ C)= {Aguacate, Higo, Manzano, Naranjo, Peral, Coníferas, Helechos, Trepadoras, Bambú, Araguaney, Olivo, Roble}

Al revisar ambos resultados, se puede ver cómo las dos distintas formas de asociación en la operación de Unión de conjuntos han conducido al mismo resultado, por lo que se puede considerar como comprobada la Propiedad Asociativa para esta operación, así como se puede le puede expresar en de esta forma:

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B∪ C)

Imagen: pixabay.com

Ejemplos de Propiedad asociativa en la Unión de conjuntos
junio 20, 2017

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