Ejemplos de Propiedad distributiva en la Unión de conjuntos

La Propiedad Distributiva en la Unión de Conjuntos es una Ley matemática que se da en esta operación del Álgebra de Conjuntos en referencia a otra operación, conocida como Intersección, indicando básicamente que la unión de un conjunto A con la intersección de los conjuntos B y C puede ser igual a la intersección de las respectivas uniones del conjunto A con los conjuntos B y C, lo cual puede resumirse con la expresión matemática: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

No obstante, esta Propiedad puede ser considerada también de forma inversa, indicando entonces que la intersección del conjunto A con la unión de los conjuntos B y C puede ser equivalente a la unión de las respectivas intersecciones de A con el conjunto B, y del conjunto A con el conjunto C, situación que también haya su expresión matemática en la siguiente forma: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Operaciones esenciales

Sin embargo, antes de continuar con los diferentes ejemplos que pueden darse en base a esta propiedad, quizás sea necesario traer a capítulo la definición de las dos operaciones del Álgebra de Conjuntos que se encuentran relacionadas, y en base a las cuales se produce esta propiedad matemática. A continuación, las distintas definiciones:

Unión de Conjuntos

En este sentido, se puede comenzar por señalar que el Álgebra de Conjuntos concibe a la Unión como una operación básica, por medio de la cual dos o más conjuntos se unen, dando como resultado un conjunto, en donde se pueden encontrar por completo cada uno de los elementos que conformabas originalmente los conjuntos que participaron en la operación. Así mismo, esta disciplina matemática señala que el signo de esta operación es ∪, mientras que su expresión puede ser considerada como la siguiente:

A ∪ B ∪ C =  │A│+ │B│ + │C│

Intersección de Conjuntos

Por otro lado, el Álgebra de Conjuntos también se ha dado a la tarea de definir la Intersección de Conjuntos, la cual es vista también como una operación básica, en donde tiene lugar la intersección entre dos o más conjuntos, originando un conjunto, conformado a su vez un conjunto en donde pueden encontrarse la totalidad de elementos comunes entre los conjuntos que han participado de la operación. De acuerdo a las distintas fuentes teóricas, el signo con el que se representa la operación de intersección es ∩, mientras que la forma correcta de presentar esta operación será:

A ∩ B=

Ejemplos de Propiedad Distributiva (Unión de Conjuntos)

Aclaradas estas definiciones, será mucho más sencillo comprender las distintas operaciones y planteamientos que se darán paulatinamente, en el camino de entrar a comprobar cómo funciona esta propiedad en los distintos casos. Sin embargo, a la hora de exponer algunos ejemplos sobre esta propiedad, quizás la forma más adecuada sea analizar los casos que se dan para cada uno de los planteamientos en los que ha sido concebida. A continuación, ejemplos sobre los diferentes planteamientos de la Propiedad Distributiva con respecto a la Intersección en la Unión de Conjuntos:

Ejemplos en base a la forma A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Dado un conjunto A, en donde se encuentra incluidos los colores cálidos:  A= {Amarillo, Anaranjado, Ocre, Marrón}; un conjunto B, en donde se cuentan los colores cuyo nombre comienza por “a”: B= {Amarillo, Anaranjado, Añil, Azul}; y finalmente un conjunto C, en donde se distingan los colores en general: C = {Ocre, Azul, Marrón, Anaranjado, Añil}, determinar si se cumple la Propiedad Distributiva respecto a la Intersección al realizar la Unión de Conjuntos.

Para esto, será necesario entonces, comenzar por realizar cada una de las operaciones contenidas en la expresión A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) a fin de comparar resultados y concluir si ambos planteamientos resultan realmente equivalentes:

A= {Amarillo, Anaranjado, Ocre, Marrón}
B= {Amarillo, Anaranjado, Añil, Azul}
C = {Ocre, Azul, Marrón, Anaranjado, Añil}

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

A ∪ (B ∩ C) = {Amarillo, Anaranjado, Ocre, Marrón} ∪  {Anaranjado, Añil, Azul}
A ∪ (B ∩ C) = {Amarillo, Anaranjado, Ocre, Marrón, Añil, Azul}

(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)= {Amarillo, Anaranjado, Ocre, Marrón, Añil, Azul} ∩ {Amarillo, Anaranjado, Ocre, Marrón, Azul, Añil}
(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)= {Amarillo, Anaranjado, Ocre, Marrón, Añil, Azul}

Al comparar resultados, se puede concluir entonces que se ha comprobado que la Propiedad A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) se cumple respecto a la intersección, en esta operación de Unión.

Dado un conjunto A, constituido por nombres de mujeres, que comiencen por “m”: A= {Martha, Mery, Milady, Magaly}; un conjunto B, en donde puedan contarse nombres femeninos que terminen en “y”:  B= {Abby, Mery, Aracely, Magaly}; y finalmente nombres femeninos en general: C= {Mariana, Martha, Mery, Abby} comprobar si se cumple la Propiedad Distributiva respecto a la intersección en la Unión de Conjuntos, en la forma A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

A fin de cumplir con lo solicitado por el postulado de este ejercicio, será necesario comenzar por cumplir las diferentes operaciones planteadas en esta expresión matemática, para después comparar los resultados, y determinar si en efecto se cumple o no la Propiedad Distributiva:

A= {Martha, Mery, Milady, Magaly}
B= {Abby, Mery, Aracely, Magaly)
C= {Mariana, Martha, Mery, Abby}

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

A ∪ (B ∩ C) = {Martha, Mery, Milady, Magaly} ∪ {Abby, Mery}
A ∪ (B ∩ C) = {Martha, Mery, Milady, Magaly, Abby}

(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)= {Martha, Mery, Milady, Magaly, Abby, Aracely} ∩ {Martha, Mery, Milady, Magaly, Mariana, Abby}
(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)= {Martha, Mery, Milady, Magaly, Abby}

En este caso, al comparar los resultados de cada operación, se puede concluir también que son equivalentes, por lo que en efecto A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) y se considera que sí se cumple la Propiedad Distributiva respecto a la Intersección en la Unión de conjuntos.

Ejemplos en base a la expresión A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Dado un conjunto A, en donde puede contarse los colores cálidos: A= {Ocre, Amarillo, Anaranjado, Rojo}; un conjunto B, en donde se cuenten colores que comiencen por la letra “a”: B= {Amarillo, Aguamarina, Anaranjado, Azul} y un tercer conjunto en donde se encuentren incluidos colores en general: C= {Morado, Ocre, Amarillo, Turquesa} comprobar que se cumple la Propiedad Distributiva, respecto a la Intersección en la Unión de Conjuntos, bajo la forma  A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Para esto, igualmente, se deberán realizar con los conjuntos expuestos, las distintas operaciones por las que se rige esta propiedad, a fin de comprobarla:

A= {Ocre, Amarillo, Anaranjado, Rojo}
B= {Amarillo, Aguamarina, Anaranjado, Azul}
C= {Morado, Ocre, Amarillo, Turquesa}

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

A ∩ (B ∪ C) = {Ocre, Amarillo, Anaranjado, Rojo} ∩ {Amarillo, Aguamarina, Anaranjado, Azul, Morado, Ocre, Turquesa}
A ∩ (B ∪ C) = {Ocre, Amarillo, Anaranjado}

(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)= {Amarillo, Anaranjado} ∪ {Ocre, Amarillo}
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)= {Amarillo, Anaranjado, Ocre }

Al comparar resultados, se tiene que en efecto, se cumple la Propiedad Matemática A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

 

Dado un conjunto A, constituido por instrumentos musicales de viento: A= {Clarinete, Flauta, Trompeta, Trombón}; así también como un conjunto B, que reúna nombres de instrumentos musicales que comiencen por la letra “t”:  B = {Trombón, Trompeta, Timbal, Tambor} y un conjunto C, conformado por instrumentos musicales en general C= {Flauta, Trompeta, Arpa, Piano} comprobar si la Propiedad Distributiva de forma A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) se cumple en la Unión de conjuntos, respecto a la intersección:

A= {Clarinete, Flauta, Trompeta, Trombón}
B = {Trombón, Trompeta, Timbal, Tambor}
C= {Flauta, Trompeta, Arpa, Piano}

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

A ∩ (B ∪ C) = {Clarinete, Flauta, Trompeta, Trombón} ∩ {Trombón, Trompeta, Timbal, Tambor, Flauta, Arpa, Piano}
A ∩ (B ∪ C) = {Flauta, Trompeta, Trombón}

(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)= {Trompeta, Trombón} ∪ {Flauta, Trompeta}
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)= {Trompeta, Trombón, Flauta}

Al comparar resultados, se tiene que en efecto la expresión de la Propiedad distributiva r  A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) se cumple realmente en la operación de Unión, respecto a la intersección.

Imagen: pixabay.com

Ejemplos de Propiedad distributiva en la Unión de conjuntos
junio 20, 2017