Ejemplos de subconjuntos

Definiciones fundamentales

En este sentido, puede que sea pertinente comenzar por la propia definición de Conjunto, pues esto permitirá tener claro la naturaleza del objeto sobre el cual se establecerá el Subconjunto, concepto que también deberá ser abordado. Finalmente, tal vez sea necesario revisar la definición de Intersección de conjuntos, operación que puede ser empleada para detectar si una determinada colección es o no subconjunto de otra. A continuación, cada uno de los conceptos:

Conjunto

En primer lugar, se puede comenzar por decir entonces que el Conjunto ha sido definido por las distintas fuentes teóricas como una colección abstracta de elementos, entre los cuales se puede encontrar un elemento en común, de ahí que puedan ser pensados como elementos que responden a una misma naturaleza, es decir, que conforman una agrupación o conjunto. Así mismo, las matemáticas ha sido enfáticas en señalar que la principal característica del conjunto es el estar conformado y definido, de una manera única y exclusiva, por sus elementos.

Subconjunto

Por su parte, el Subconjunto podrá ser entendido como una colección abstracta de elementos, que cuenta con la propiedad de encontrarse incluida de forma plena y absoluta en un conjunto mucho más grande, es decir, que el subconjunto forma parte, con la totalidad de elementos que tiene, de otra colección mucho más grande. Para determinara si un conjunto e subconjunto o no de otro, será necesario simplemente una observación y comparación de elementos, a fin de corroborar si en efecto todos los elementos del conjunto se encuentran contenidos por otro. Sin embargo, algunas fuentes refieren que también se puede establecer una operación de Intersección que permita ver si el resultado es equivalente de forma plena al conjunto que se señala como subconjunto. La forma matemática de expresar esta relación será la siguiente:

B ⊆ A

Intersección

Por último, es necesario también definir la Intersección, operación propia del Álgebra de Conjuntos, la cual consiste en comparar dos conjuntos, conformando una tercera colección, en donde se pueden contar como elementos todos aquellos que resultan comunes entre ellos. En cuanto a la expresión matemática de esta operación, se puede tener la siguiente:

A ∩ B =

Ejemplos de Subconjuntos

Teniendo estas definiciones presentes, tal vez sea mucho más sencillo entender los distintos casos que pueden servir de ejemplo a los Subconjuntos. A continuación, algunos de ellos:

Ejemplo 1

Dado un conjunto A, constituido por nombres de frutas en general: A= {Mandarina, Limón, Sandía, Mango, Níspero, Naranja, Maracuyá, Oliva} y un conjunto B, en donde se pueden contar como elementos nombres de frutas cítricas, B= {Mandarina, Limón, Naranja} determinar si en efecto B puede ser considerado un subconjunto de A.

Para cumplir con el postulado de este ejercicio, será necesario disponer los conjuntos, de manera que pueda ser mucho más fácil observar sus elementos:

A= {Mandarina, Limón, Sandía, Mango, Níspero, Naranja, Maracuyá, Oliva}
B= {Mandarina, Limón, Naranja}

Hecho esto, se compararán estos elementos, fijándose sobre todo en aquellos que contiene el conjunto B, a fin de ver si se pueden encontrar en el conjunto A. De esta manera, se podrá ver cómo los tres elementos del conjunto B se encuentran en efecto dentro del conjunto A, por lo que se puede decir entonces que B es un subconjunto de A:

B ⊆ A

Ejemplo 2

Dado un conjunto B, conformado por nombres de instrumentos musicales: B= {Pandereta, Guitarra, Xilófono, Saxofón, Cuatro, Violín, Maracas, Viola} y un conjunto C, conformado por instrumentos musicales de cuerda: C= {Guitarra, Cuatro, Violín, Viola} determinar si C es un subconjunto de B.

A fin de cumplir con esta solicitud, se puede optar por establecer una operación de Intersección entre estos dos conjuntos, a fin de detectar si en efecto el resultado de esta operación es equivalente al conjunto C, hecho que corroboraría que C es un subconjunto de B:

B= {Pandereta, Guitarra, Xilófono, Saxofón, Cuatro, Violín, Maracas, Viola}
C= {Guitarra, Cuatro, Violín, Viola}

B ∩ C=
B ∩ C= {Pandereta, Guitarra, Xilófono, Saxofón, Cuatro, Violín, Maracas, Viola} ∩ {Guitarra, Cuatro, Violín, Viola}

B ∩ C= {Guitarra, Cuatro, Violín, Viola}

Obtenido el resultado, éste se debe comparar entonces con el conjunto C, que es el que se quiere identificar o no como subconjunto:

B ∩ C= {Guitarra, Cuatro, Violín, Viola}
C= {Guitarra, Cuatro, Violín, Viola}

Al hacerlo, se puede ver cómo estos coinciden de forma plena entre ellos:

B ∩ C= C

{Guitarra, Cuatro, Violín, Viola} = {Guitarra, Cuatro, Violín, Viola}

Por ende, se puede decir entonces que efectivamente C es un subconjunto de B:

C ⊆ B

Ejemplo 3

Dado un conjunto C, constituido por nombres femeninos: C= {Carmela, María, Emperatriz, Ana, Adelaida, Amparo, Carlota, Paola, Antonia, Beatriz} y un conjunto D, conformado por nombres femeninos que comiencen por la letra “a”: D= {Ana, Adelaida, Amparo, Antonia, Ana María} determinar si D puede ser interpretado como un conjunto de D.

A fin de cumplir con este postulado, será necesario entonces realizar una operación de Intersección entre estas dos colecciones:

C= {Carmela, María, Emperatriz, Ana, Adelaida, Amparo, Carlota, Paola, Antonia, Beatriz}
D= {Ana, Adelaida, Amparo, Antonia, Ana María}

C ∩ D=
C ∩ D= {Carmela, María, Emperatriz, Ana, Adelaida, Amparo, Carlota, Paola, Antonia, Beatriz} ∩ {Ana, Adelaida, Amparo, Antonia, Ana María}

C ∩ D=  {Ana, Adelaida, Amparo, Antonia}

Hecho esto, se comparará el resultado de la Intersección y el conjunto sobre el que se quiere establecer si es o no un subconjunto:

C ∩ D=  {Ana, Adelaida, Amparo, Antonia}
D= {Ana, Adelaida, Amparo, Antonia, Ana María}

Al hacerlo, se podrá ver cómo el conjunto D no coincide en la plenitud de con la colección conseguida durante la operación de intersección, por ende no se puede decir entonces que D sea un subconjunto de C.

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