Ejemplos del Método de las proporciones en la Regla de tres compuesta directa

Antes de abordar una exposición sobre los distintos ejemplos que pueden darse en relación a ejercicio de Regla de tres compuesta directa, resueltos a través de la aplicación del Método de las proporciones, será necesario revisar algunas definiciones, que de seguro permitirán entender estos ejercicios en su justo contexto matemático.

Definiciones fundamentales

En este sentido, tal vez resulte también conveniente delimitar estas explicaciones a seis nociones específicas: Razones, Proporciones, Magnitudes directamente proporcionales, Magnitudes proporcionales a otras varias, Regla de tres compuesta directa y Método de las proporciones para ejercicio de Regla de tres compuesta directa. A continuación, cada una de estas definiciones:

Razones

Por consiguiente, se comenzará por decir que las Razones han sido explicadas por las Matemáticas como un tipo de expresión, usada para dar cuenta respecto al cociente entre dos números. Por ende, las Razones se encontrarán señalando cuántas veces se encuentra contenido el Divisor entre el Dividendo. Algunos ejemplos de razones podrán ser los siguientes:

Así también, las Matemáticas han señalado que las Razones se encontrarán conformadas en todo momento por dos distintos elementos: el primero de ellos, denominado Antecedente, y que ocupa el ámbito superior de la Razón, al tiempo que señala el Dividendo; y por su parte, el Consecuente, elemento que se ubica en la parte inferior de la Razón, mientras cumple con la tarea de señalar el Divisor.

En otro orden de ideas, las Matemáticas hablan también de la necesidad que existe sobre no confundir las Razones con las Fracciones, pues aun cuando estas expresiones se parecen en su estructura, en realidad se encuentran conformadas por elementos diferentes, al tiempo señalan situaciones matemáticas diferentes. De esta manera, las Razones –conformadas por los Antecedentes y los Consecuentes- señalarán el Cociente entre dos números, mientras que las Fracciones –constituidas por el Numerador y el Denominador- tendrán como fin exponer cuántas partes se han tomado de una unidad que se encuentra a su vez dividida en varias partes.

Proporciones

Por otro lado, también será necesario tomar un momento para señalar el concepto que se ha dado sobre las Proporciones, las cuales han sido explicadas entonces como la relación de igualdad que existe entre dos razones. Ergo, las proporciones serán dos razones iguales. Un ejemplo de esto será el siguiente:

Al observar este caso, se puede ver cómo pese a que ninguno de los elementos de las razones involucradas coincide entre sí en cuanto a su valor, estas expresiones pueden considerarse como iguales, o proporcionales, ya que si se resolvieran, ambas arrojarían un cociente igual a 2. De esta forma, se entiende entonces que ambas razones constituyen expresiones del mismo cociente:

Sin embargo, este no es el único método que tienen las Matemáticas para comprobar si dos razones son o no proporcionales. Para esto también podrá usarse el método de los extremos y los medios. En este sentido, se multiplicarán entre sí entonces los elementos constituidos por los extremos –es decir, al Antecedente de la primera razón por el Consecuente de la segunda- y los medios –el Consecuente de la primera expresión por el Antecedente de la segunda razón. Si ambos productos coinciden entre sí, se considera que las Razones son iguales o proporcionales:

Este atributo que puede encontrarse en las razones proporcionales es conocido como una de las Leyes de la proporción, y resulta bastante útil siempre que se desee despejar alguno de los elementos de la proporción, que pueda resultar incógnito. Para resolver esta cuestión, se requerirá de un ejercicio de Regla de tres simple directa, el cual conllevará a multiplicar los elementos del ámbito que se encuentra completo, para luego dividir este producto entre el único elemento que se conoce del ámbito que se desea conocer:

Magnitudes directamente proporcionales

En tercera instancia, será igualmente necesario tomar un momento para explicar las Magnitudes directamente proporcionales. No obstante, quizás también sea de provecho tener en consideración el concepto de Magnitudes, las cuales han sido explicadas por las Matemáticas como el conjunto de elementos, en el cual se puede ver la propiedad de sumarse, comprarse u ordenarse en relación a otras unidades o magnitudes que les resulten iguales, o de la misma naturaleza.

Por su parte, las Magnitudes directamente proporcionales serán aquellos conjuntos de magnitudes, en donde se cumple la propiedad de que si uno de ellos se multiplica por o se divide entre un factor específico, entonces la otra se verá afectada exactamente igual, es decir, en el mismo sentido, y de forma proporcional.

Magnitud proporcional a otras varias

De igual forma, resultará prudente hacer un alto en este punto para revisar el concepto de Magnitud proporcional a otras varias, relación de proporcionalidad que pueden existir entre más de dos magnitudes, cuando una de ellas se relaciona de forma proporcional con las otras, teniendo la condición de que alguna de ellas se mantiene fija. Este tipo de magnitudes constituyen entonces también proporciones en las que interviene tres distintas magnitudes.

Regla de tres compuesta simple

Así mismo, a la hora de entender la Regla de tres compuesta simple, se tendrá que esta puede ser entendida como el procedimiento por medio del cual se busca dar solución a toda proporción constituida por tres distintas magnitudes, y en donde una de ellas pudiera presentarse como incógnita. Por igual, las Matemáticas señalan que para dar solución a la Regla de tres compuesta simple se pueden emplear dos posibles métodos: el Método de la reducción a la unidad y el Método de las proporciones.

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Método de las proporciones

Por último, también será de utilidad detenerse sobre el concepto del Método de las proporciones, el cual ha sido entendido como uno de los dos métodos que pueden emplearse frente a un ejercicio de Regla de tres compuesta simple. De forma un poco más específica, este método buscará convertir las distintas magnitudes en magnitudes proporcionales a otras varias, logrando entonces construir una proporción de tres magnitudes, en donde una de ellas resultará incógnita y se deberá despejar.

Ejemplos del Método de las proporciones en la Regla de tres compuesta directa

Una vez se han explicado cada una de estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar algunos ejemplos, en donde se pueda ver de forma concreta cómo se debe cumplir con los distintos pasos, que involucra la solución de este tipo de ejercicios. A continuación, algunos ejemplos del Método de las proporciones en los ejercicios de Regla de tres compuesta directa:

Ejercicio 1

En una imprenta, 10 máquinas en 8 horas imprimen 50 libros. ¿Cuántos libros imprimirán 34 máquinas en un tiempo de 6 horas?

En este ejercicio existen tres distintas magnitudes, tanto en los hechos como en las suposiciones que desean ser completadas. Por igual se entiende que son magnitudes proporcionales a otras varias, pues al momento de fijar cualquiera de ellas, las otras dos establecen relaciones directamente proporcionales entre ellas.

Por ende, lo primero que se hará debe ser colocar, en una tabla informativa, todos los datos que se poseen sobre cada una de las magnitudes:

Número de máquinas

Número de horas de trabajoNúmero de libros impresos

10

8

50

346

X

 

Plantear la información así resulta en verdad bastante útil, puesto que permite construir directamente las razones que conformarán la proporción, en este caso, compuesta por tres distintas magnitudes. Así mismo, se podrá ver cómo en la tercera columna, se encuentra una razón cuyo consecuente permanece incógnito. Lo siguiente que se hará será mostrar entonces la proporción de tres magnitudes:

Sin embargo, es imposible dar solución a este ejercicio, si no se busca llevar esta proporción de tres a dos magnitudes. Para esto, se buscará entonces multiplicar las dos primeras razones:

Hecho esto, se ha conseguido entonces llevar la proporción de tres a dos magnitudes. Ahora, sí se podrá despejar el elemento que resulta incógnito, pues para hacerlo se deberá aplicar simplemente el método de los extremos o los medios, o de regla de tres simple directa, si se prefiere llamarla así:

Una vez que se ha obtenido este número, que puede ser considerado como el número de las razones que aparecía como incógnito, podrá entonces completarse la tabla que se había hecho en primer momento:

Número de máquinas

Número de horas de trabajo

Número de libros impresos

10

8

50

346

127,5

Por igual, se le podrá dar entonces solución a la pregunta planteada por el ejercicio, considerándose entonces que 10 máquinas hacen en 8 horas de trabajo un total de 50 libros, entonces 34 máquinas en 6 horas pueden producir 127,5 libros.

Este ejercicio también pudiera resolverse por medio del Método de la reducción a la unidad, el cual buscaría por su parte establecer entonces cuántos libros puede hacer una máquina en una sola hora, para conociendo la relación de la unidad, poder establecer otras relaciones entre magnitudes.

Ejercicio 2

En una carpintería, 12 carpinteros construyen en 18 horas 20 mesas. ¿Cuántas mesas podrán realizar en 8 horas, 24 trabajadores?

Por igual, este ejercicio se comenzará entonces planteando en una tabla la información suministrada por el ejercicio para ver las magnitudes con las que se trabajará:

Número de carpinterosNúmero de horas de trabajoNúmero de libros impresos
121820
248X

Igualmente, se deberá entonces construir las razones, así como buscar llevar la proporción de tres a dos magnitudes, hecho que se logra cuando se multiplican las dos primeras razones:

Llegado a ese punto, entonces se deberá emplear el método de la Regla de tres simple directa para despejar la x, y entonces descubrir cuál es la magnitud que falta para completar la proporción:

Al resolver, se tiene entonces que 12 carpinteros construyen en 18 horas un total de 20 mesas, mientras que 24 carpinteros construyen en 8 horas un total de 17,77 mesas.

Imagen: pixabay.com

Ejemplos del Método de las proporciones en la Regla de tres compuesta directa
noviembre 30, 2018