Ejemplos sobre cómo calcular la antiimagen en una función

Antes de abordar una explicación sobre el procedimiento que debe ser aplicado toda vez que se quiera conocer la antiimagen de una función, en base al manejo de su imagen y ecuación de la función, se revisarán algunas definiciones, que de seguro permitirán entender esta operación matemática dentro de su justo contexto.


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Definiciones fundamentales

Por consiguiente, también se decidirá limitar esta revisión teórica a cinco nociones específicas: Conjuntos, Correspondencia, Función, Variables de una función, Ecuación de la función, por encontrarse directamente relacionados con el procedimiento que se estudiará posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:

Los conjuntos

De esta manera, se comenzará por decir que las Matemáticas han explicado los Conjuntos como una clase de objeto, conformado por una agrupación de elementos, que pueden ser considerados como propios o pertenecientes a la misma naturaleza, de ahí que los Conjuntos hayan sido explicados igualmente entonces como colecciones abstractas de elementos homogéneos.

Así mismo, la disciplina matemática ha destacado que los elementos que conforman el conjunto se distinguirán por delimitar el conjunto de forma única y exclusiva. Con respecto a cómo expresar esta clase de colecciones, los distintos autores señalan que el conjunto siempre deberá ser denominado por medio de una letra mayúscula, mientras que sus elementos serán presentados como una enumeración, separados por comas, y comprendidos entre signos de llave: { }

Correspondencia

En segunda instancia, será también de provecho lanzar luces sobre el concepto de Correspondencia, el cual ha sido explicado como una relación matemática que ocurre entre dos conjuntos, toda vez que uno, algunos o todos los elementos de una colección encuentran, según un criterio específico, una correspondencia con los elementos del otro conjunto. Un ejemplo de Correspondencia sería el siguiente:

Así mismo, en la Correspondencia, los conjuntos que participan de ella reciben su propia definición, siendo explicados entonces de la siguiente manera:

  • Conjunto inicial: será considerado como la colección desde la cual parte o se genera la relación de correspondencia, así como las flechas que la señalan. En cuanto a sus elementos, estos son conocidos por su parte con el nombre de antiimagen, asumiendo igualmente la responsabilidad de operar como el primer término del par de correspondencia. Esta colección es conocida también como Conjunto de inicio. En este ejemplo usado para ilustrar la correspondencia, el Conjunto inicial sería el siguiente: A = {1, -1, 2, -2, 3, -3}
  • Conjunto final: por su parte, este conjunto, denominado igualmente como Conjunto de llegada, ha sido explicado como la colección en donde desemboca la correspondencia, así como las flechas que son utilizadas para señalar la relación. Con respecto a los elementos que conforman este conjunto, las Matemáticas han señalado que estos pueden ser entendidos como la imagen de la correspondencia, teniendo la tarea de ejercer como el segundo elemento del par de correspondencia. Por su lado, en el ejemplo expuesto, el Conjunto de llegada correspondería al siguiente: B = {2, 4, 9}
  • Grafo: finalmente, en la Correspondencia también existe el Grafo, el cual es explicado como el Conjunto que se genera en base a esta relación matemática entre conjuntos, teniendo como elementos los pares de correspondencia que se han formado. En este caso, el Grafo correspondería a la siguiente colección: G= {(1, 2), (-1, 2), (2, 4), (-2, 4), (3, 9), (-3, 9)}

Funciones

Otro de los conceptos que debe ser explicados en esta revisión teórica es el de Funciones, las cuales son entendidas de forma general como la relación matemática de correspondencia, que se establece entre dos conjuntos, toda vez que los elementos del conjunto inicial, que participan de la correspondencia, cuenta con una sola imagen entre los elementos del conjunto de llegada. Un ejemplo de este tipo de relación será el siguiente:

Variables de una función

Así mismo, las Matemáticas han señalado que en la Función se pueden encontrar dos distintos tipos de variables, las cuales han sido explicadas de la siguiente manera:

  • Variable independiente: esta variable es bautizada siempre con la letra x, al tiempo que se caracteriza por contar con un valor que no es dependiente de ninguna otra variable. En la función, los elementos que pertenecen al conjunto inicial y que participan de la correspondencia pueden ser entendidos como variables independientes, ocupando en algún momento el valor de x en la ecuación de la función.
  • Variable dependiente: igualmente, en la Función se puede hablar de las Variables dependientes, denominadas así porque su valor depende, o se encuentra en función de x. Las variables dependientes son bautizadas por su parte con la letra y, siendo ejercidas por los elementos del conjunto de llegada que sirven de imagen en la Función. Su valor puede ser determinado sometiendo a x a la ecuación de la función.

Ecuación de la función

Por último, también será necesario traer a capítulo la definición de Ecuación de la función, la cual ha sido explicada entonces como el conjunto de operaciones matemáticas por medio del cual en base a x se determina el valor de y. De acuerdo a lo que señalan las Matemáticas, la Ecuación de función está determinada por el Criterio de correspondencia entre los dos conjuntos que conforman la función.

Ejemplos de cómo calcular la antiimagen de una función

Una vez se han revisado cada uno de estos conceptos, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar un ejemplo sobre cómo se debe determinar la antiimagen en una Función, siempre que esta surja como desconocida, pero sí se manejen otras informaciones. En este sentido, los distintos autores han señalado que ya como la Función establece sus variables y, en torno a la ecuación de la función, siempre que se conozca x, para despejar x, en caso de que no se conozca, bastaría referirse a la Ecuación de la función, y despejar esta variable.

Por ejemplo, si se tuviera una Función, en donde el criterio de correspondencia fuese “el doble de”, y se conociera que y = 4, para conocer el valor de x, sería necesario cumplir con los siguientes pasos:

f(x) = y → y = 2 . x → f(x) = 2 . x

y = 2 . x
8 = 2 . x
x = 8 : 2
x = 4

Si se quisiera comprobar que el valor de x ha sido correctamente determinado, se vuelve sobre la ecuación de la función y se usa el valor encontrado para x:

y = 2 . 4
y= 8

Siendo correcto, se procede entonces a expresar los valores de las variables  de esta función:

f(4) = 8

Imagen: pixabay.com

Ejemplos sobre cómo calcular la antiimagen en una función
marzo 29, 2019
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