Ejemplos sobre propiedades de los subconjuntos en el Conjunto complementario

Ejemplos, Matemáticas

Previo a exponer algunos casos que puedan ser interpretados como ejemplos de la Propiedad sobre subconjuntos en el Conjunto complementario, quizás lo mejor sea revisar la propia definición de esta Ley matemática, a fin de tener totalmente presente lo que ella dicta.

Propiedad sobre subconjuntos en el Conjunto Complementario

Al respecto, será necesario comenzar por recordar brevemente que el Álgebra de conjuntos define como Subconjunto a aquella colección de elementos que además de conformar un conjunto, se pueden considerar contenidos de forma plena en otro conjunto, en cuyo caso se dice que el subconjunto está contenido o forma parte de tal conjunto. Visto esto, se puede entonces pasar a la definición que da esta disciplina matemática sobre la propiedad de los subconjuntos en los conjuntos complementarios, la cual reza que siempre que B sea un subconjunto de A, el complementario de A será igualmente un subconjunto del complementario de B, situación que puede ser expresada matemáticamente también de la siguiente manera:

B ⊂ A → A⊂ B

Ejemplos sobre la Propiedad de subconjunto en A

Sin embargo, puede que la forma más eficiente de poder ver cómo se cumple en efecto esta propiedad sea a través de algunos ejemplos específicos, en donde se observe si esta Ley matemática sobre los subconjuntos en el conjunto complementario se cumple o no. A continuación, algunos ejemplos:

Ejemplo 1

Dado un conjunto A, constituido por nombres de frutas que comiencen por la letra “m”: A= {Mandarina, Mango, Mangostino, Melón} y un subconjunto B= {Mandarina, Mango} determinar cómo se cumple la propiedad de los subconjuntos en los conjuntos complementarios, tomando en cuenta además el Conjunto Universal para este caso: U= {Maracuyá, Mamoncillo, Mandarina, Mango, Mangostino, Melón, Maní, Merey, Membrillo}

A fin de dar cumplimiento a la solicitud hecha por este postulado, se deberá proceder en primera instancia a traer a colación la expresión matemática de la Propiedad que quiere comprobarse, para poder realizar entonces las distintas operaciones involucradas:

B ⊂ A → A⊂ B

Al respecto, entonces la primera operación que deberá hacerse será la de comprobar que ciertamente B es un subconjunto de A, por lo que se compararán sus elementos:

A= {Mandarina, Mango, Mangostino, Melón}
B= {Mandarina, Mango}

Hecho esto se puede comprobar entonces, en primera instancia, que ciertamente B se encuentra contenido de forma plena en A, es decir que B es un subconjunto de A:

B ⊂ A

Posteriormente, se deberán hallar los respectivos conjuntos complementarios de cada colección. En este caso, se comenzará por determinar el conjunto complementario de A, para lo que se someterán a una operación de Diferencia el conjunto Universal y este conjunto:

A= {Mandarina, Mango, Mangostino, Melón}
U= {Maracuyá, Mamoncillo, Mandarina, Mango, Mangostino, Melón, Maní, Merey, Membrillo}

A= U\A
A= {Maracuyá, Mamoncillo, Mandarina, Mango, Mangostino, Melón, Maní, Merey, Membrillo} \ {Mandarina, Mango, Mangostino, Melón}
A= {Maracuyá, Mamoncillo, Maní, Merey, Membrillo}

Realizando también una operación de Diferencia, se determinará cual es el Conjunto complementario de B:

B= {Mandarina, Mango}
U= {Maracuyá, Mamoncillo, Mandarina, Mango, Mangostino, Melón, Maní, Merey, Membrillo}

B = U\B
B = {Maracuyá, Mamoncillo, Mandarina, Mango, Mangostino, Melón, Maní, Merey, Membrillo} \ {Mandarina, Mango}

B = {Maracuyá, Mamoncillo, Mangostino, Melón, Maní, Merey, Membrillo}

Teniendo ambos conjuntos complementarios, deberán ser comparados, para así determinar qué tipo de relación de subconjuntos puede establecerse entre ellos:

A= {Maracuyá, Mamoncillo, Maní, Merey, Membrillo}
B = {Maracuyá, Mamoncillo, Mangostino, Melón, Maní, Merey, Membrillo}

Al hacerlo, se ve cómo el Conjunto complementario de A se encuentra contenido en el Conjunto complementario de B, por lo que se concluye, en primer lugar que  Aes un subconjunto de B:

A ⊂ B

Así también, queda demostrada la Propiedad sobre los subconjuntos en el Conjunto complementario, puesto que efectivamente por ser B un subconjunto de A, el complementario de A termina estando contenido en el complementario de B:

B ⊂ A → A⊂ B

Ejemplo 2

Dado el conjunto complementario de A, sobre nombres de instrumentos musicales:  A = {Tambor, Pandereta, Piano, Timbales, Maracas} y el conjunto complementario de B:  B= {Tambor, Pandereta, Piano, Castañuelas, Guitarra, Timbales, Maracas, Bongó, Platillos} comprobar cómo se cumple la Propiedad  sobre los subconjuntos en el Conjunto Complementario, teniendo en cuenta además que para este caso se cuenta con el siguiente Conjunto Universal: U= {Tambor, Bandolina, Violín,  Pandereta, Piano, Clarinete, Flauta, Castañuelas, Guitarra, Timbales, Maracas, Bongó, Platillos, Batería}

En este caso en específico, sólo se cuentan con los conjuntos complementarios, por lo que entonces el primer paso a desarrollar será aquel dirigido a determinar a qué conjuntos pertenecen estos complementarios. Se empezará entonces con la operación de Diferencia entre el Conjunto Universal y A que permitirá determinar el conjunto A:

A = {Tambor, Pandereta, Piano, Timbales, Maracas}
U= {Tambor, Bandolina, Violín,  Pandereta, Piano, Clarinete, Flauta, Castañuelas, Guitarra, Timbales, Maracas, Bongó, Platillos, Batería}

A= U \ A

A= {Tambor, Bandolina, Violín,  Pandereta, Piano, Clarinete, Flauta, Castañuelas, Guitarra, Timbales, Maracas, Bongó, Platillos, Batería} \ {Tambor, Pandereta, Piano, Timbales, Maracas}

A= {Bandolina, Violín, Clarinete, Flauta, Castañuelas, Guitarra, Bongó, Platillos, Batería}

Usando la misma operación de Diferencia entre el Conjunto Universal y el conjunto complementario de B, se determinará cuál es el conjunto B:

B= {Tambor, Pandereta, Piano, Castañuelas, Guitarra, Timbales, Maracas, Bongó, Platillos}
U= {Tambor, Bandolina, Violín,  Pandereta, Piano, Clarinete, Flauta, Castañuelas, Guitarra, Timbales, Maracas, Bongó, Platillos, Batería}

B= U\ B

B= {Tambor, Bandolina, Violín,  Pandereta, Piano, Clarinete, Flauta, Castañuelas, Guitarra, Timbales, Maracas, Bongó, Platillos, Batería} \ {Tambor, Pandereta, Piano, Castañuelas, Guitarra, Timbales, Maracas, Bongó, Platillos}

B= {Bandolina, Violín,  Clarinete, Flauta, Batería}

Habiendo obtenido ambos conjuntos, se puede entonces traer a colación la expresión matemática de la Propiedad sobre los subconjuntos en el Conjunto complementario, a fin de revisar si ciertamente se cumplen las distintas relaciones que ella establece:

B ⊂ A → A⊂ B

En este sentido, se deberá entonces comenzar por comprobar si ciertamente B se encuentra contenido en A, para lo cual se deben comparar los conjuntos, a fin de revisar sus elementos:

A= {Bandolina, Violín, Clarinete, Flauta, Castañuelas, Guitarra, Bongó, Platillos, Batería}
B= {Bandolina, Violín,  Clarinete, Flauta, Batería}

Al hacerlo, se puede comprobar entonces que efectivamente, B puede considerarse subconjunto de A, puesto que sus elementos se encuentran plenamente contenidos en este conjunto:

A ⊂ B

Así mismo, se compararán los respectivos conjuntos complementarios, a fin de determinar si ciertamente puede existir también una relación de subconjuntos entre ellos:

A = {Tambor, Pandereta, Piano, Timbales, Maracas}
B= {Tambor, Pandereta, Piano, Castañuelas, Guitarra, Timbales, Maracas, Bongó, Platillos}

Revisando los respectivos elementos, se puede observar cómo el complemento de A es un subconjunto del complemento de B. Por ende, habiendo determinado estas relaciones de subconjuntos se puede dar por comprobada esta propiedad, ya que siendo B un subconjunto de A, se ve también cómo el complemento de A es a su vez un subconjunto del complemento de B:

B ⊂ A → A⊂ B

Imagen: pixabay.com

Ejemplos sobre propiedades de los subconjuntos en el Conjunto complementario

Bibliografía

El pensante (julio 11, 2017). Ejemplos sobre propiedades de los subconjuntos en el Conjunto complementario. Bogotá: E-Cultura Group. Recuperado de https://educacion.elpensante.com/ejemplos-sobre-propiedades-de-los-subconjuntos-en-el-conjunto-complementario/