Ejercicios de comparación de magnitudes de error en aproximaciones

Entre los distintos ejercicios que se pueden realizar en cuanto a la Medición del error en términos porcentuales, se encuentra la de comparar las magnitudes de error de dos o más números que han pasado por el proceso de aproximación, pues nunca será igual un error de 0,05% en el número 1,3 que un error de 0,05% en 123,456 ya que en el primero es relevante, pero en el segundo casi imperceptible.

Sin embargo, antes de avanzar en la exposición de algunos ejercicios, se comenzará por revisar algunas definiciones, que de seguro servirán para entender cada uno de estos procedimientos en su justo contexto matemático.

Definiciones fundamentales

Por consiguiente, se tomará también la decisión de delimitar esta revisión teórica a tres nociones específicas: Redondeo, Truncamiento y Medición del error en términos porcentuales, por encontrarse directamente relacionados a los ejercicios, que se estudiarán posteriormente. A continuación, las siguientes definiciones:

Redondeo

En consecuencia, podrá comenzarse por decir que el Redondeo ha sido explicado, por las distintas fuentes como un ejercicio matemático, destinado a simplificar números decimales, a través de la eliminación total o parcial de sus cifras decimales.

Así mismo, las Matemáticas señalan que el objetivo de este procedimiento es producir cifras mucho más manejables, reduciendo entonces los errores a la hora de registrar el número o realizar operaciones con ellos.

Sin embargo, en el Redondeo, la eliminación de todos o algunas cifras decimales no es lo único que sucede, sino que el valor de la primera cifra eliminada de izquierda a derecha puede o no afectar a la cifra que permanece, y que se encuentra ubicada de forma inmediata a aquella que se elimina. Además, la disciplina matemática concibe tres distintos tipos de Redondeo:

  • Redondeo  a la unidad: cuando se eliminan todas la cifras decimales, permaneciendo solo la parte entera del número. En este caso, si la décima era menor a 0,5 la unidad permanece igual, por el contrario si la décima es igual o mayor a 0,5 entonces la unidad debe cambiar aumentando su valor en una unidad.
  • Redondeo a la décima: también puede ocurrir que se eliminen todas las cifras a la derecha de la décima, obteniendo un número con una sola cifra en su parte decimal. Si la centésima es igual o mayor a 0,05 entonces la décima aumenta una unidad su valor, por el contrario si la centésima es menor a 0,05 la décima permanece igual.
  • Redondeo a la centésima: por otro lado, también se realiza un redondeo en donde se eliminan todas aquellas cifras ubicadas a la derecha de la centésima, obteniendo un número con dos cifras en su parte decimal. Si la milésima es igual o mayor a 0,005 la centésima aumenta su valor en una unidad, si es menor a 0,005 la centésima permanece igual.

Truncamiento

En segundo lugar, también será conveniente lanzar luces sobre el concepto de Truncamiento, el cual es visto también como un ejercicio de simplificación de números decimales, en donde se suprime de forma total o parcial las cifras ubicadas en los decimales. A diferencia de lo que sucede en el redondeo, la cifra que permanece y que se encuentra ubicada de forma inmediata a la que se suprime no cambia en absoluto.

Por otra parte, las Matemáticas han señalado que existen tres distintos tipos de Truncamiento, los cuales han sido explicados de esta forma:

  • Truncamiento por la unidad: se suprime todas las cifras que componen la parte decimal del número. Se conserva solo la parte entera.
  • Truncamiento por la décima: se suprimen todas las cifras a la derecha de la unidad. La parte decimal del número queda constituida solo por la décima.
  • Truncamiento por la centésima: se suprimen todas las cifras a la derecha de la centésima. La parte decimal del número queda conformada por dos cifras: décima y centésima.

Medición del error en términos porcentuales

Por último, también se necesitará pasar revista sobre el concepto de Medición del error en términos porcentuales, el cual puede ser descrito como un ejercicio destinado a descubrir la magnitud del error que se ha cometido en el proceso de aproximación. Para realizar este ejercicio se deben seguir los pasos que se mencionan a continuación:

1.- Realizar la aproximación.
2.- Determinar el error en términos reales.
3.- Dividir el error en términos reales entre el número original.
4.- Expresar el cociente encontrado en términos porcentuales.

Ejercicios de comparación de magnitudes de error en aproximaciones

Toda vez se han revisado cada uno de estos conceptos, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar algunos ejercicios, que permitan comparar entre sí los distintos errores que se han cometido al realizar el procedimiento de aproximación de números. A continuación, los siguientes procedimientos:

Ejercicio 1

Teniendo los números decimales 8,924 y 1,34 realizar un redondeo a la unidad, y comparar la magnitud del error que ocurre en cada uno de los ejercicios de aproximación.

Para realizar este ejercicio, se debe proceder entonces a realizar primero los redondeos:

8,924 → se redondea a la unidad a 9
1,34 → se redondea a la unidad a 1

Así mismo, se determinan los errores en términos reales en cada aproximación, para lo cual se debe entonces restar el número obtenido en la aproximación menos el número original, se toma en cuenta el valor absoluto de la diferencia:

|9 – 8,924| = 0,076
|1 – 1,34| = 0,34

Se procede entonces a determinar los errores en términos porcentuales en cada caso. Para esto, se dividen los errores en términos reales entre los números originales. Los resultados se asumen en términos porcentuales:

0,076 : 8,924 = 0,0085163 %
0,34 : 1,34: = 0,2537312 %

Por último, se comparan las distintas magnitudes, encontrando que cuando se redondea 8,924 a 9 se produce un error de magnitud 0,0085163% mientras que cuando se redondea el número 1,34 a 1 se produce un error de magnitud 0,2537312 %. Es decir, el error en la aproximación tiene mayor magnitud en el segundo caso.

Ejercicio 2

Dados los siguientes números: 2,323 y 2,593 realizar truncamientos a la décima, y determinar en cuál de las dos aproximaciones ocurre la mayor magnitud de error.

Se truncan los números:

2,323 → se trunca a 2,32
2,593 → se trunca a 2,59

Se calcula el error en términos reales:

|2,32 – 2,323| = 0,003
|2,59 – 2,593| = 0,003

Se calcula el error en términos porcentuales:

0,003 : 2,323 = 0,0012914 %
0,003 : 2,593 = 0,0011569 %

Al comparar las magnitudes de error, se descubre que aunque ambos números cuentan con el mismo margen de error, en términos reales, a nivel de magnitudes de error, este es mucho mayor en la aproximación de 2,323 a 2,32 que en la aproximación de 2,593 a 2,59.

Imagen: pixabay.com

Ejercicios de comparación de magnitudes de error en aproximaciones
julio 31, 2019
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