El subconjunto

Dentro del Álgebra de Conjuntos, se conoce con el nombre de Subconjunto a la condición que presenta un determinado conjunto de poseer como elementos una totalidad comprendida o incluida a su vez en otro conjunto.

Notación del subconjunto

En este sentido, se dice entonces que B es un subconjunto de A, si todos y cada uno de los elementos de B se encuentran presentes y contenidos dentro del conjunto A. Con respecto a la notación por la cual puede ser indicada esta relación entre conjuntos, el Álgebra de Conjuntos señala que el signo para hacer referencia a que un conjunto es subconjunto de otro es ⊆, signo que será usado entre los conjuntos que mantengan esta relación, apuntando siempre hacia la colección que funge como subconjunto. Por ende, la expresión matemática de un subconjunto podría regirse por la siguiente forma:

B  ⊆  A

Ejemplo de subconjunto

Sin embargo, puede que la forma más eficiente de explicar esta relación entre conjuntos (colección de elementos entres los cuales puede encontrarse un rasgo en común, el cual les permite ser entendidos como una agrupación o colección abstracta) sea a través de un ejemplo, que permita observar detenidamente de qué se trata el que un conjunto se encuentre contenido dentro de otro, tal como el que se muestra a continuación:

Dado un conjunto A, el cual esté conformado por un grupo de frutas en general: A= {Manzana, Mango, Maracuyá, Naranja, Limón, Pera, Uva, Níspero, Granada, Pomelo} y un conjunto B, en donde se puedan contar como elementos un grupo de frutas cítricas: B= {Maracuyá, Naranja, Limón, Pomelo} establecer si entre ellos puede existir una relación de subconjuntos.

Para cumplir con el requerimiento de este enunciado, se deberá comenzar por expresar los conjuntos del ejercicio, a fin de revisar cada uno de sus elementos:

A= {Manzana, Mango, Maracuyá, Naranja, Limón, Pera, Uva, Níspero, Granada, Pomelo}
B= {Maracuyá, Naranja, Limón, Pomelo}

Al hacerlo, se puede observar cómo todos y cada uno de los elementos del conjunto B, se encuentran por completo también dentro del conjunto A. En este sentido, se puede decir entonces que B se encuentra contenido dentro de A, o que es un subconjunto de A, por lo que entonces:

B ⊆ A

Así mismo, si se quisiera comprobar esta relación con una operación de conjuntos, más allá de la mera observación, se establecería entonces entre estas colecciones una operación de Intersección:

A= {Manzana, Mango, Maracuyá, Naranja, Limón, Pera, Uva, Níspero, Granada, Pomelo}
B= {Maracuyá, Naranja, Limón, Pomelo}

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A ∩ B= {Manzana, Mango, Maracuyá, Naranja, Limón, Pera, Uva, Níspero, Granada, Pomelo} ∩ {Maracuyá, Naranja, Limón}

A ∩ B= {Maracuyá, Naranja, Limón, Pomelo}

Al hacerlo, se puede ver cómo el resultado de esta operación coincide totalmente con el conjunto B: A ∩ B= B. Si esto es así, se concluye entonces que B está contenido dentro de A: B ⊆ A

Propiedades del subconjunto

Así mismo, el Álgebra de conjuntos señala que el Subconjunto también puede ser considerado como un conjunto poseedor de diferentes propiedades o leyes matemáticas, entre las cuales se pueden distinguir las siguientes:

Sobre el Conjunto vacío como subconjunto

Esta propiedad, la cual también es nombrada por las distintas fuentes teóricas como una propiedad del Conjunto vacío, indica que este tipo de conjunto, es decir, el Conjunto vacío, puede ser considerado como un subconjunto de cualquier conjunto. Esto puede explicarse, a través de la lógica que indica que al evaluar a un conjunto A no se puede encontrar en él ningún elemento que esté a su vez en ∅, por lo que entonces se concluye que el resultado es también el conjunto vacío:

∅ ⊆ A= ∅

Sobre la transitividad de los subconjuntos

Por otro lado, el subconjunto también cuenta con la propiedad de la transitividad, por ende si se tiene un conjunto A está contenido en un conjunto B, y este a su vez es subconjunto de C, se concluye entonces que A también es un subconjunto de C, es decir, que está contenido dentro del conjunto:

Si A ⊆ B   Y    B ⊆ C →  A⊆C

Propiedad antisimétrica del subconjunto

También puede suceder que llegue el caso de que dos conjuntos puedan considerarse incluidos de forma plena el uno en el otro, en otras palabras, que tanto A pueda considerarse parte plena del conjunto B, y que a su vez, en viceversa, el conjunto B esté contenido totalmente en A. Esta situación, según la ley matemática por la que se rige, sólo será posible en el caso de que los conjuntos sean iguales:

Sin A ⊆ B  Y   B ⊆ A →  A = B

Propiedad reflexiva del subconjunto

Finalmente, el Álgebra de Conjuntos indica que en todo momento un conjunto determinado puede ser considerado subconjunto de sí mismo, lo cual es totalmente posible si se piensa que este conjunto tendrá dentro de sí mismo absolutamente todos sus elementos. A esta propiedad matemática, se le conoce dentro de esta disciplina matemática como Propiedad Reflexiva del conjunto, y puede expresarse entonces de la siguiente manera:

A ⊆ A

Imagen: pixabay.com

El subconjunto
julio 20, 2017