Elemento absorbente en la Intersección de conjuntos

Definiciones fundamentales

En este sentido, resulta pertinente entonces llamar la atención sobre algunos conceptos básicos, como por ejemplo el del Conjunto, pues al revisarlo se tendrá presente la naturaleza del objeto en base al cual se da la Intersección de conjuntos, igualmente será conveniente pasar revista sobre esta operación, así como sobre la definición de Conjunto Vacío. A continuación, cada uno de los conceptos:

Conjunto

Con respecto a la definición de Conjunto, las distintas fuentes teóricas coinciden a ver el Conjunto como un objeto matemático, que puede considerar definido y conformado, de forma única y exclusiva, por los elementos que lo conforman, y entre los cuales puede distinguirse un rasgo en común, que permite verlos a todos como pertenecientes a la misma naturaleza. Así mismo, las distintas fuentes teóricas coinciden en señalar que el Conjunto es una colección abstracta de elementos que debe ser nombrada por una letra mayúscula, mientras que sus elementos deberán ir contenidos entre signos de llaves { } y presentados en forma de lista, siendo separados por una coma.

Intersección de conjuntos

Por otro lado, también será necesario referir a la definición de Intersección de conjuntos, pues es en esta operación que tiene lugar la propiedad del Elemento Absorbente. En consecuencia, se puede decir entonces que el Álgebra de conjuntos concibe a la Intersección de conjuntos como una operación básica, en donde dos o más conjuntos establecen –como su nombre lo indica- intersecciones, conformando un nuevo conjunto, en donde pueden encontrarse todos y cada uno de los elementos que resultan comunes a los conjuntos u objetos que han participado de la operación. La forma matemática de expresar esta operación será la siguiente:

A∩B=

Conjunto vacío

Así también cuenta con gran importancia el revisar la definición de Conjunto vacío, el cual es entendido por el Álgebra de Conjuntos, como aquella colección abstracta, que a diferencia del resto de los conjuntos, no cuenta con elementos dentro de él, por lo que se dice entonces que está vacío. Igualmente, el Conjunto vacío es entendido como un absoluto, es decir, que se menciona como “el conjunto vacío”, y no como “un conjunto vacío”. Las matemáticas conciben dos signos posibles para denotar este conjunto: el primero de ellos, usado por algunos autores, y que corresponde a dos llaves, entre las cuales no se anota ningún elemente: { } o el signo ∅ el cual es el de uso más extendido.

Propiedad del Elemento absorbente en la Intersección

Revisadas estas definiciones, será mucho más sencillo entonces aproximarse a la definición de Elemento absorbente en la Intersección de conjuntos, la cual es entendida por la mayoría de fuentes teóricas como aquella propiedad matemática que dicta que todo conjunto que establezca una operación de Intersección con el Conjunto vacío dará como resultado el propio Conjunto vacío, el cual a su vez –en el Álgebra de conjuntos- cumple el papel que cumple el cero en algunas operaciones numéricas.

En cuanto al resultado de esta operación, la razón por la que da como resultado el conjunto vacío es que al no haber elementos comunes, entre aquellos que posee el conjunto partícipe y los que no tiene el Conjunto vacío, no existen elementos que puedan conformar el nuevo conjunto hecho con elementos comunes, por lo que el resultado es el propio Conjunto vacío, es decir, un Conjunto en donde no puede contarse ningún elemento. Con respecto a la expresión matemática con la que puede plantearse esta propiedad responderá a la siguiente forma:

A∩∅= ∅

Ejemplo de Elemento absorbente en la Intersección

Sin embargo, quizás la forma más eficiente de explicar esta propiedad matemática, inherente a la Intersección de conjuntos, sea a través de la exposición de un ejemplo concreto, que venga a demostrar cómo se cumple esta Ley matemática, tal como el que se muestra a continuación:

Dado un conjunto A, constituido por números pares: A= {4, 2, 8, 22, 10, 14, 28, 56} establecer una operación de Intersección con el Conjunto vacío, para comprobar si realmente se cumple o no la Propiedad del Elemento absorbente en esta operación.

Para cumplir con lo que solicita este postulado, será necesario entonces plantear y tratar de resolver la operación de Intersección de conjuntos:

A= {4, 2, 8, 22, 10, 14, 28, 56}

A∩∅ =

A∩∅ = {4, 2, 8, 22, 10, 14, 28, 56} ∩ ∅=  ∅

Al no poder obtener elementos comunes entre los conjuntos involucrados en la operación, se crea entonces un conjunto en donde no puede verse ningún elemento, es decir, el Conjunto vacío. Por consiguiente, al realizar esta operación se ha logrado igualmente comprobar que se cumple la Propiedad del Elemento Absorbente, que establece que una Intersección entre un conjunto  y el Conjunto vació, da como resultado el propio Conjunto vacío, lo que a su vez puede expresarse matemáticamente de la siguiente manera:

A∩∅ = ∅

Imagen: pixabay.com