Fracción elevada a un exponente negativo

Antes de profundizar en una explicación sobre la forma correcta de resolver toda operación matemática que plantee elevar una base racional a un exponente negativo, quizás sea necesario revisar de forma breve algunas definiciones, que permitirán entender cada uno de los pasos inherentes a este procedimiento, dentro de su justo contexto matemático.


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Definiciones fundamentales

En este sentido, tal vez resulte también pertinente delimitar esta revisión conceptual a cuatro nociones específicas: Fracciones, Potenciación, Potencias de exponente negativo y Potencias de base racional, por ser estas las expresiones y operaciones directamente relacionadas con la operación conocida como Potencia de base racional y exponente negativo. A continuación, cada una de estas definiciones:

Fracciones

De esta manera, se comenzará por decir que las Matemáticas han definido las Fracciones, de forma general, como una de las expresiones con las que cuentan los números fraccionarios, es decir, que las fracciones serán empleadas para dar cuenta de cantidades no exactas o no enteras. Así mismo, la disciplina matemática señala que este tipo de expresión estará conformada, siempre y sin excepción, por dos elementos, explicados a su vez de la siguiente manera:

  • Numerador: en primer lugar, el Numerador será comprendido como el elemento que ocupe o constituya la parte superior de la fracción. Su tarea será referir cuántas partes del todo representa la fracción.
  • Denominador: en segundo lugar, el Denominador ha sido descrito como el elemento que ocupa la parte inferior de la fracción, teniendo como tarea señalar en cuántas partes se encuentra dividido el todo, del cual la fracción apenas representa una o algunas partes.

Potenciación

Así también, será necesario lanzar luces sobre la definición de Potenciación, la cual ha sido vista por las distintas fuentes matemáticas como una operación en la cual intervienen dos números: base y exponente, y en la que el principal objetivo es determinar el producto resultante de multiplicar por sí misma la base tantas veces indique el número que sirve de exponente, por lo que entonces algunos autores han destacado que la Potenciación puede ser entendida también como una multiplicación abreviada.

Potencias de Exponente negativo

En este orden de ideas, es pertinente decir también que las Potencias por lo general cuentan con exponentes positivos, constituidos entonces por números enteros y de signo positivo. Sin embargo, existen ocasiones en donde por el contrario el número que funge como exponente, pese a ser un número entero, está acompañado de un signo negativo. En este tipo de casos, la Matemáticas señalan que se debe seguir el principio o propiedad que dicta que toda potencia elevada a un exponente negativo será igual a la unidad dividida entre la misma potencia, pero con exponente positivo, situación que podrá ser representada de la siguiente manera:

Potencias de base racional

Finalmente, resultará también necesario traer a capítulo la definición de Potencias de base racional, las cuales básicamente serán entendidas como aquellas operaciones de Potenciación en donde el número que sirve de base estará constituido por una fracción. En consecuencia, el principal objetivo de este tipo de operaciones será determinar el producto de multiplicar por sí misma la base, tantas veces como señale el número que funge como exponente.

Potencia de base racional y exponente negativo

Una vez se han revisado cada uno de estos conceptos, tal vez ciertamente sea mucho más sencillo abordar una explicación sobre la forma correcta de resolver toda Potencia de base racional y exponente negativo, situación que deberá ser asumida de la misma forma en que se resuelve toda potenciación que plantee la existencia de un exponente de signo negativo.

Por consiguiente, toda fracción elevada a este tipo de exponente será igual a  la unidad dividida entre esta potencia de base racional pero elevada a un exponente positivo. Así mismo, esta división se entenderá igual a la misma potencia de base racional y exponente positivo pero con los elementos de la fracción que sirve de base invertidos, lo cual será mucho más sencillo de asimilar en su expresión matemática:

Ejemplo de cómo resolver una Potencia de base racional y exponente negativo

No obstante, puede que la forma más eficiente de completar una explicación sobre la manera correcta de resolver este tipo de operaciones de potenciación, en donde se encuentra la particularidad de haber una base racional y un exponente negativo, sea a través de la exposición de un ejemplo, que permita ver en la práctica cómo se cumplen cada uno de los pasos necesarios para darle solución a este tipo de planteamientos, tal como puede verse en el siguiente ejercicio:

Resolver la siguiente operación:

Una vez se ha determinado que la potencia de base racional cuenta con un exponente negativo, será necesario aplicar la fórmula por medio del cual la potencia debe dividir la unidad, para despojar al exponente de su signo:

Logrado esto, sin embargo, todavía no se le puede dar solución a la operación, hasta que no se logre eliminar la división entre la unidad, para lo cual se invertirán los elementos de la fracción, conservando el mismo exponente:

Llegado a este punto, se deberá aplicar entonces la fórmula general de las potencias de base racional, la cual dicta que cada elemento de la fracción deberá elevarse por separado al exponente que plantea esta operación:

Sin posibilidades de reducir esta fracción, se tomará entonces como la solución final a la operación de potencia de base racional y exponente negativo. Por ende:

Imagen: pixabay.com

Fracción elevada a un exponente negativo
febrero 21, 2018
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