Fracción generatriz de un número racional

Quizás lo más conveniente, previo a abordar una explicación sobre la Fracción generatriz de un número decimal, así como el procedimiento indicado para hallarla, sea revisar algunas definiciones, que permitirán entender esta operación dentro de su contexto matemático adecuado.

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Definiciones fundamentales

En este sentido, tal vez también resulte prudente delimitar esta revisión teórica a dos nociones específicas: las definiciones respectivas de Fracciones y Números decimales, por ser estas las expresiones o elementos numéricos directamente relacionados con toda operación, cuyo propósito sea determinar la fracción de la cual proviene un número decimal. A continuación, cada uno de estos conceptos:

Fracciones

De esta manera, se comenzará por decir que las Matemáticas han definido la fracción como la expresión numérica por medio de la cual se representan los números racionales. En consecuencia, la fracción servirá para referir a una determinada cantidad fraccionaria o no exacta. Así mismo, la fracción estará constituida por dos elementos: el numerador, cuya función será señalar cuántas partes del todo representa la fracción; y el denominador, el cual cumplirán con la tarea de mostrar en cuántas partes se encuentra dividido el todo:

Números decimales

Por su parte, los números decimales han sido concebidos de forma general por las Matemáticas como aquellos elementos numéricos, por medio de los cuales se le da expresión escrita a cantidades no exactas, que bien pueden constituir números racionales o irracionales. Por otro lado, la disciplina matemática también ha señalado a los Números decimales como elementos numéricos conformados por dos partes diferentes –una entera y otra decimal- que han sido explicadas a su vez de la siguiente manera:

  • Parte entera: conocida también como Unidades, esta parte entera del número decimal estará constituida por un número entero, el cual podrá ser tanto positivo, como negativo, o incluso el cero. Al estar conformada por elementos numéricos pertenecientes al Sistema de numeración decimal, los números que se encuentran en las unidades cuentan con valor posicional, contándose entonces de derecha a izquierda entre unidades, decenas, centenas, unidades de mil, decenas de mil, etc.
  • Parte decimal: así mismo, dentro del Número decimal podrá contarse una parte decimal, la cual es denominada también como Unidades incompletas. Se encuentra compuesta por un número menor a la unidad, el cual en la Recta numérica se encontrará ubicado entre el cero y el uno. Sus elementos cuentan también con valor posicional, contándose de izquierda a derecha las décimas, centésimas, milésimas, diezmilésimas, etc.

Ambas partes se encontrarán –siempre y sin excepción- separadas por una coma. A la izquierda de este símbolo se deben anotar las unidades, o parte entera del número decimal, mientras que a su derecha corresponderá disponer las unidades incompletas, es decir, la parte decimal del número. Existen corrientes matemáticas que optan por usar el punto en lugar de la coma, pero la disposición de los elementos deberá hacerse de igual forma.

Fracción generatriz de un número decimal

Una vez revisados cada uno de estos conceptos, quizás sea mucho más sencillo aproximarse a la definición de Fracción generatriz de un número decimal, la cual simplemente será la fracción de la cual se ha generado un número decimal.

En este orden de ideas es necesario explicar que una misma cantidad no exacta puede ser expresada tanto como una fracción como por medio de un número decimal, siempre y cuando se trate de un número racional, es decir, un número que al ser expresado como decimal cuente en sus unidades incompletas o con un decimal limitado, o con un decimal ilimitado periódico, bien sea puro o mixto.

De lo contrario, es decir, si se contara con un número decimal ilimitado no periódico, es decir, en donde sus unidades incompletas se extienden hacia el infinito sin que se repita en ellos ninguna serie, se trataría de un número decimal que referiría a un número racional, y por ende este número no podría jamás ser representado como una fracción. En consecuencia, solo los números racionales podrán contar tanto con una expresión decimal como con una expresión fraccionaria.

Casos y métodos para hallar la fracción generatriz de un número decimal

Por consiguiente, al momento de tratar de establecer cuál es la fracción generatriz de un número decimal, serán las características de las unidades incompletas de este número las cuales dirán si en efecto la expresión decimal cuenta o no con una fracción generatriz, es decir si en primer lugar se trata o no de un número racional.

Así mismo, las características de las unidades incompletas del número decimal serán las que señalen cuál es el procedimiento que se debe seguir a la hora de encontrar la Fracción generatriz, puesto que los procedimientos variarán según se trata de un decimal limitado, un decimal periódico puro o un decimal periódico mixto. A continuación, el método que debe emplearse en cada caso:

Fracción generatriz de un decimal limitado

De acuerdo a lo que señalan las distintas fuentes matemáticas, un número decimal limitado es aquel que cuenta con un número preciso de elementos en sus unidades incompletas, por ende, suele ser producto de una división exacta entre dos números enteros. Así mismo, al encontrar un número con estas características, se concluye que se trata de un número racional, es decir, que sí cuenta con una fracción generatriz. Por consiguiente, a la hora de hallar esta fracción, de donde procede el número decimal limitado se deberán seguir cada uno de los pasos que se nombran a continuación:

1.- Determinado que se trata de un decimal limitado, al momento de encontrar su fracción generatriz, se comenzará por suprimir la coma del número decimal, a fin de convertirlo en un número entero.

2.- Seguidamente se usará este número entero como el numerador que tendrá la fracción generatriz.

3.- En cuanto al denominador de esta fracción será un número conformado por la unidad, y tantos ceros como elementos haya  tenido en sus unidades incompletas el número decimal del cual se está hallando la fracción generatriz.

4.- Hallados numerador y denominador se considera resuelta la operación.

Sin embargo, quizás la mejor manera de completar una explicación sobre cómo se debe hallar la fracción generatriz de un número decimal limitado sea a través de la exposición de un ejemplo concreto, que permita ver de forma práctica cómo se cumplen cada uno de estos pasos. A continuación, el siguiente ejercicio:

Hallar la fracción generatriz del siguiente decimal limitado: 7,890

Fracción generatriz de un decimal ilimitado periódico puro

Por otro lado, las Matemáticas considerarán que los números decimales ilimitados periódicos puros serán aquellos que en sus unidades incompletas cuenten con series de números, que además de repetirse infinitamente, comiencen a hacerlo inmediatamente después de la coma que separa los números enteros de los decimales. En este caso, también se puede hablar de números racionales, por lo que entonces el número decimal sí cuenta con una fracción generatriz.

Sin embargo, los pasos que se sigan para hallarla serán distintos a aquellos que se cumplen cuando se trata de un decimal puro. En consecuencia, siempre que se quiera encontrar la fracción generatriz de un número decimal ilimitado periódico puro deberán seguirse estos pasos:

1.- Se tomará el número decimal del cual se quiere hallar la fracción generatriz, y se suprimirá su coma.

2.- Después se tomará de este número decimal solo las unidades incompletas, y se colocarán en el numerador. La parte entera del número decimal se restará a estas unidades incompletas.

3.- En el denominador se colocarán tantos números 9 como elementos haya tenido el número decimal ilimitado periódico puro en el período o serie que se repetía en sus unidades incompletas, inmediatamente después de la coma.

Empero, en este caso puede que también se necesite emplear un ejemplo concreto que permita demostrar de forma práctica cómo se debe proceder siempre que se quiera encontrar la fracción generatriz de un número decimal ilimitado periódico puro, tal como se muestra en el siguiente ejercicio:

Hallar la fracción generatriz del siguiente número decimal:  2,34

Fracción generatriz de un número decimal ilimitado periódico mixto

Por último, será también necesario señalar que las Matemáticas conciben los números decimales ilimitados periódicos mixtos como aquellos números decimales que en sus unidades incompletas cuentan con series de números que se repiten cada cierto período, pero cuya aparición no ocurre inmediatamente después de la coma, habiendo entre este signo y el número que se repite un número que no lo hace, por lo que a estos números se les conoce también como ilimitados periódicos impuros, o semi-periódicos.

En cuanto a la forma correcta en que debe hallarse la fracción generatriz que tienen este tipo de números, como racionales al fin, la Matemática ha señalado que deben seguirse los pasos que se enumeran seguidamente:

1.- Dado un número decimal ilimitado periódico mixto, lo primero que deberá hacerse es suprimir la coma, a fin de convertirlo en un número entero.

2.- En segundo lugar, se tomará todo el número obtenido, desde la parte entera hasta el final del primer período, y se colocará en el numerador de la fracción generatriz.

3.- A este número que se ha puesto en el numerador se le deberá restar todo los números que conforman la parte entera y el ante-período.

4.- Por su parte en el denominador se colocará un número conformado por los siguientes números: se pondrán en principio tantos nueves como cifras puedan contarse en el período, los cuales irán seguidos de tantos ceros como cifras cuente el ante-período, es decir, el número de las unidades incompletas que no se repite, y que se ubica entre la coma y el primer período.

De igual forma, se deberá exponer un ejemplo concreto, que permita ver cómo debe realizarse este tipo de operación:

Imagen: pixabay.com

Fracción generatriz de un número racional
marzo 31, 2018


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