Grado de la expresión algebraica

Matemáticas

Uno de los elementos que conforman la expresión algebraica –tanto el término algebraico como el polinomio- es el grado de ésta, el cual está definido por el mayor exponente al que se encuentre elevado el elemento literal, conocido también como variable o indeterminada.

Grado de un término algebraico

De esta forma, en el caso de un término algebraico de una variable (x) bastará con identificar cuál es el exponente del literal –el cual de no estar señalado explícitamente se tomará como uno- para saber cuál es el grado del término. Si en cambio, el término tuviese dos elementos literales en vez de uno, es decir, que en lugar de solo tener una variable (x) éste cuenta con un literal (xy) ó (xyz) la forma de determinar el grado del término será sumando los exponentes de los distintos literales, tomando el resultado como el grado del término.

Ejemplo 1

Por consiguiente, si se toma por ejemplo el término algebraico  5x2. Al querer conocer el grado de esta expresión será necesario simplemente reparar en el exponente de la variable o literal, siendo éste el número dos  (2). Es decir, que este término (5x2) es de segundo grado o de grado cuadrático.

Ejemplo 2

No obstante, si en cambio el término algebraico fuese  5x2y. Habría que empezar por identificar los exponentes de cada uno de los literales. En este caso preciso, se tendrían que son (2,  1) puesto que al no encontrarse un exponente explícito para el literal para y se asume que este corresponde a la unidad. Sumados los exponentes (2 + 1 = 3). Por ende, se puede concluir que el término algebraico 5x2y es de tercer grado, o de grado cúbico.

Grado de un polinomio

Por su parte, para determinar el grado de un polinomio (suma de un número finito de monomios, cuyos exponentes corresponden a números enteros positivos) se tiene que observar también si esta expresión algebraica es de una sola variable (x) o por el contrario tiene más de una variable, pues esta diferencia marcará el modo en que se debe detectar cuál es el grado del polinomio. A continuación, un ejemplo de cómo se debe proceder en cada caso específico, para hallar el grado del polinomio.

Ejemplo 3

Dado el siguiente polinomio, se deberá identificar cuál es el grado de éste:

P(x) =  4x + 3 + 4x3 + 2x2+ 4

Se revisan cada uno de los monomios que lo conforman, determinando que todos corresponden a términos de variable (x). De esta manera, a fin de saber cuál es el grado de este polinomio, se deberá simplemente prestar atención a cada uno de los exponentes con los que cuentan los literales. Hecho esto, se tiene entonces que los exponentes, corresponder a los números enteros positivos: 1; 3 y 2; siendo el mayor de ellos el número 3, por lo que entonces el polinomio es de tercer grado, o grado cúbico. Sabiendo esto, también se puede dar orden descendiente al polinomio, es decir, que se ordenará desde el término con mayor grado hasta el de menor grado, y luego cada uno de los términos independientes:

P(x) = 4x3 + 2x2 + 4x + 3 + 4 =

Y ya el polinomio ha sido correctamente ordenado, pues la identificación del grado polinómico lo ha permitido.

Ejemplo 4

En cambio, si la identificación de grado debe hacerse sobre otro tipo de polinomio, que no posea simplemente variable x, como en el siguiente caso:

P(x,y) = 5x + 8x2y3 + 2 + xy + x3

Se debe en primera instancia identificar cuántos términos algebraicos o monomios tiene el polinomio. Hecho esto se procederá a sumar los exponentes de aquellos que cuenten con más de una variable:

Por ejemplo, el término  (8x2y3) cuyo grado será 5 (2+3=5)

También se tiene el término xy, donde los exponentes equivales en ambos casos a la unidad (1+1=2), por lo que este término será de segundo grado. Finalmente, se concluirá que el elemento 5x es de primer grado, y el elemento x3 de tercer grado.

Revisado esto, se escogerá entonces al término que posea el mayor grado, pues este será el grado del polinomio, con más de dos variables. Por ende este polinomio es de grado 5, o de grado quíntico.

Para ordenar un polinomio de más de una variable, como el de este caso, se procederá a tomar en consideración dos cosas:

1.- La letra ordenatriz, que será la variable sobre la cual se ordenará el polinomio.
2.- El orden que se seguirá, si será ascendente (del menor al mayor grado) o descendente (del mayor al menor grado) de la variable o letra ordenatriz.

Dado entonces el mismo polinomio de grado 5:

P(x, y) = 5x + 8x2y3 + 2 + xy + x3

Para ordenarlo, se tomará como letra ordenatriz la variable (x), buscando entonces expresar tanto un orden ascendente como descendente, en cuanto a los distintos grados de sus términos, tal como se muestra a continuación:

orden ascendente, ordenatriz (x):   5x + xy + 8x2y3 + X3 + 2

orden descendente, ordenatriz (x):  x3 + 8 x2y3 + xy + 5x + 2

Así mismo, se puede ordenar este polinomio de dos variables, tomando como letra ordenatiz la (y) en cuyo caso se tendrían los siguientes órdenes:

orden ascendente, ordenatriz (y):  xy + 8x2y3 + 5x + x3 + 2

orden descendente, ordenatriz (y):  8x2y3+ xy + x3 + 5x + 2

Propósito del grado

Así las cosas, se puede decir igualmente, en cuanto al propósito o utilidad que tiene el grado de una expresión algebraica, según la mayoría de las fuentes matemáticas, será la de permitir ordenar la expresión algebraica, cuando ésta cuente con más de un término algebraico, como ocurre en el caso de los polinomios, preparándolos así para la realización de las distintas operaciones a las que pueden ser sometidos, como por ejemplo la suma o la resta.

Nombres de la expresión algebraica según el grado

Igualmente, aun cuando por tradición, se estila denominar a un término algebraico o a un polinomio como de primer grado, segundo grado o tercer grado, las Matemáticas cuentan con nombres específicos, según el grado o cantidad que reporte el exponente más alto. En este sentido, se tienen entonces los siguientes nombres:

Si el exponente más alto es cero, la expresión algebraica será de grado “constante”.

Si el exponente más alto es 1, la expresión algebraica será de grado “lineal”.

Si el exponente más alto es 2, la expresión algebraica será de grado “cuadrático”.

Si el exponente más alto es 3, la expresión algebraica será de grado “cúbico”.

Si el exponente más alto es 4, la expresión algebraica será de grado “cuártico”.

Si el exponente más alto es 5, la expresión algebraica será de grado “quíntico”.

Tipos de grado

Sin embargo, los grados de una expresión algebraica también pueden ser de dos tipos, según las variables que se tomen en cuenta para determinarlo. Por lo tanto, el grado de un polinomio puede entonces ser:

  • Grado absoluto: cuando se toma el exponente mayor de un término, afirmando que el grado del polinomio es lineal, cuadrático, cúbico, etc.
  • Grado relativo: cuando tomando en consideración que el polinomio tiene más de una variable, se afirma que el polinomio puede ser de grado (n) considerando (x); o también puede ser de grado (n) considerando (y).

Imagen: flickr.com

Grado de la expresión algebraica

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Bibliografía

El pensante (abril 18, 2017). Grado de la expresión algebraica. Bogotá: E-Cultura Group. Recuperado de https://educacion.elpensante.com/grado-de-la-expresion-algebraica/